有理数中的数学思想

运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题.下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。希望对大家能有所帮助。一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b的值。析解：此题主要考查绝对值的意义.因为│a│=所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0,b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0,b+3《0时，a+b=-10例3、如果a、b、c是非零有理数，求ccbbaa的值.析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。因为a、b、c是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数.此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a、b、c的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a、b、c的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a、b、c的绝对值有一个取本身时，原式为1.（4）、当a、b、c的绝对值都取相反数时，原式为3.aa》0-aa《0cba0例4、已知｜x｜=3，412y,且xy＜0，求x－y的值。偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。二、数形结合思想.数形结合思想在函数中应用比较广泛，在有理数的内容里，主要是在数轴方面的应用。数轴是数形结合最重要的工具，通过数轴可以求两点间的距离，可以用来比较数的大小或者化简式子。例1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：化简cbcabc.析解：这是一道数形结合的题目。此题的难点是对bc的化简，可用两种方法化简。法一：由数轴可知abc，因此0bc，cbbcbc)(，注意这里要把“bc”当作一个整体，它的绝对值是它的相反数)(bc，化简)(bc，可看作)(1bc=cb.同理caca，cbcb。法二：bc可看作数轴上表示c、b的两点间的距离，因此bccbcb。原式cbcacb=cba32。三、方程思想.方程思想是重要的数学思想.不管是一般的数学问题、还是实际应用题或者是以后解答几何题，只要存在相等关系就可以列出方程，解决问题.例1、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=3，计算：3cd―2a―2b＋m的值。析解：由互为相反数的两数的和为零可得0ba，由互为倒数的两数乘积为1可得1cd，由3m，可得3m或3m，因此3cd―2a―2b＋m=3cd-2(a+b)+m=3×1-2×0+3=6或3cd―2a―2b＋m=3cd-2(a+b)+m=3×1-2×0-3=0注意在代值时，应把ba、cd分别当作一个整体.例2、若0)1(22yx，那么20113)(yx＝.析解：由于任何数的绝对值及偶次幂都是非负数，非负数之和为零，则各个非负数必定都为零，所以可得02x,01y，解得2x,1y，因此20113)(yx20113)1(2)1(8=-8四、整体思想.整体思想与方程思想一样是学习数学必备的思想，它应用于数学的方方面面，在有关有理数的知识中同样处处用到整体思想。如上的例题中都用到了整体思想。同样在多项式的求值的时候也要用到整体思想。例1、已知x+y+3的值为5，求多项式2x+2y-4的值。析解：由于2x+2y=2(x+y),所以由x+y+3=5可知x+y=2,所以2x+2y-4=2(x+y)-4=2×2-4=0