浅谈维纳滤波器滤波技术

浅谈维纳滤波器滤波技术[摘要]针对高斯白噪声作为动态干扰噪声的随机信号，经过维纳滤波后的效果实验，分析了Wiener滤波器阶数对滤波效果的影响，以及不同的干扰噪声方差对滤波效果的差异。主要通过研究Wiener滤波器的滤波功能，探讨Wiener滤波器阶数对滤波效果的影响，以及噪声方差对滤波效果的影响。[关键词]高斯白噪声最小均方误差维纳-霍夫方程自相关阶数噪声方差一、引言维纳滤波器是诺伯特·维纳提出的一种滤波器，与设计一个特定频率响应所用的通常滤波器设计理论不同，维纳滤波器从另外一个不同的角度实现滤波器。仅仅在频域进行滤波的滤波器，仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息，维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照统计方式干扰信号的噪声。二、维纳滤波原理1、维纳滤波器的结构维纳滤波器自身是一个FIR或IIR滤波器，对于一个线形系统，如果其冲激响应为h(n)，则当输入某一随机信号x(n)时，它的输出可表示为：式（1）这里的输入式（2）式中s(n)代表信号，v(n)代表噪声。我们希望这种线形系统的输出是尽可能地逼近s(n)的某种估计，并用表示，即：式（3）因而该系统实际上也就是对于s(n)的一种估计器。这种估计器的主要功能是利用当前的观测值x(n)以及一系列过去的观测值x(n-1)，x(n-2)，……来完成对当前信号值的某种估计。维纳滤波属于一种最佳线性滤波或线性最优估计，是最小均方误差作为计算准则的一种滤波。设信号的真值与其估计值分别为s(n)和，而它们之间的误差则称为估计误差。式（4）估计误差e(n)为可正可负的随机变量，用它的均方值描述误差的大小显然更为合理。而均方误差最小，也就是：式（5）利用最小均方误差作为最佳过滤准则比较方便，它不涉及概率的描述，而且以它导出的最佳线性系统对其它很广泛的一类准则而言也属最佳。2、维纳-霍夫方程维纳滤波器的设计，实际上就是在最小均方误差条件下探索和确定滤波器的冲激响应h(n)或系统函数H(z)，也就是求解维纳-霍夫方程的问题。对于物理可实现系统，由（1）式得：式（6）它实现的是将当前的及过去的诸输入值作相应的加权后的求和运算。故维纳滤波设计的则是确定均方误差：式（7）最小意义下的冲激响应。因此式（8）为求得最小时的，我们将（8）式对求偏导，得：式（9）再令其为零，即：式（10）从而可以确定我们所需要的。由于（10）式看出，满足正交性原理与满足均方误差最小的条件是一致的。由于，以及，将其代入（10）式可得：式（11）若将（10）式和（11）式代换回以m为参变量的形式，可分别获得：式（12）及式（13）我们把（12）式与（13）式称为维纳-霍夫方程。三、实验要求一个随机信号服从AR(4)过程，它是一个宽带过程，参数如下：通过观测方程来测量该信号，是方差为1的高斯白噪声，利用Wiener滤波器通过测量信号估计的波形，用Matlab对此问题进行仿真，将的方差改为4，重新测量。四、实验步骤在本次仿真实验中，要求利用Wiener滤波器通过测量信号估计的波形，用Matlab对此问题进行仿真。仿真的结构图如图2所示。本文仿真了噪声方差、阶数、采样点三者之间的关系。第一步：产生随机信号x使用randn（1，N）来产生一个高斯随机序列，令N值为1000，方差为1。该序列通过线性系统产生随机信号x，也就是利用高斯白噪声信号通过线性系统的方法来产生。通过函数语句filter（）来实现。第二步：插入系统动态噪声生成系统动态干扰高斯白噪声，叠加到随机信号x上，令y为x叠加噪声的信号。第三步：利用维纳霍夫方程估计信号x去自相关的系数k为在1~200之间变化，也就是维纳滤波器的阶数1~200之间变化，求出何时的误差的均方差值Ev最小，求出此时的Ev值，以及这个时候的阶数。这个步骤中利用到了几个Matlab函数在此介绍一下xcorr（）用来求序列的相关函数、toeplitz（）用来对称化自相关函数使之成为方阵。维纳霍夫方程求得系数h，然后再通过filter（）函数求得估计值x0。第四步：画图比较画图比较x、y、x0的波形，画出滤波器阶数lag与Ev之间的关系曲线。改变随机干扰噪声的方差，观察滤波的效果。五、仿真分析通过仿真我们可以得到信号的时域波形，以及滤波效果比较。在上图中可以清晰的看到滤波前后的波形比较，在干扰噪声比较打的时候，滤波的效果非常明显，这张图是程序选取最好的自相关系数的时候画出来的。六、结论Wiener滤波器阶数对滤波效果的影响，仿真结果表明：当Wiener滤波器阶数越大滤波效果更好，但是当阶数增加到一定程度后，滤波效果几乎没有改善。另外Wiener滤波器在对小信噪比的信号进行滤波的时候效果更好一些，仿真结果表明：当噪声方差为1，是滤波器的Ev从1.7下降到了1.35左右，也就是降低了55％；而方差为4时，是滤波器的Ev从6.1下降到了5.0左右。这个也和实际的理论依据一致，维纳滤波适合小信噪比的情况。参考文献：[1]陆光华，彭学愚等.随机信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2002.