概率论期末考试试题A卷及答案

07级《概率论》期末考试试题A卷及答案一、填空题（满分15分）：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为101。解答：101!5!321p2.设,)(,)(,)(rBAPqBPpAP则)(BAPqr。解答：qrBPBAPBBAPBAPBAP)()()])[()()(3.设随机变量的分布列为,...2,1,0,3)(kakXPk则a=32.解答：32233111310aaaakk4.设随机变量为与，已知D=25,D=36,4.0,,则D(-)=37.解答：374.065236252)(),cov(),cov(2)(,,DDDDDDDDDD5.设随机变量服从几何分布,...2,1,)(1kpqkPk。则的特征函数)(tf。.1)(:1111ititkkititkkitkitqepeqepepqeeEtf解二、单项选择题（满分15分）：1.设.A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为(④).①CBA.②CBACBACBA③ABC.④CBACBACBACBA2.下列函数中，()可以作为连续型随机变量的分布函数.①.010xxexFx②010xxexGx③0100xexxx④0100xexxHx3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（②）。①nkpppknkPknk,...,1,0,10,)1()(.②,...2,1,31)3)1((kkPkkk.③..2,1,0,0,!)(kekkPk.④.,...2,1,10,)1()(1kpppkPk4.设),(服从二维正态分布);,;,(222121raaN，0r是,独立的（③）。①充分但不必要条件.②必要但不充分条件.③充分且必要条件.④.既不充分也不必要条件.5.设随机变量21、为相互独立的随机变量，下面给出的分布中不具有再生性的为（③）。①二项分布②.泊松分布③均匀分布.④正态分布三、（满分20分）（1）把长度为a的线段，任意折成三折，求此三线段能构成三角形的概率。解：设yx、分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为)(yxa，则ayxayaxyx0,0,0),(，又设A=“三条线段能构成一个三角形”=xyxayyyxaxyxayxyx)(,)(),(),(=2,2,2,ayaxayxyx,A的面积为8)2(2122aa，则41281)(22aaAAP的面积的面积。（2）炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为、、,而在各处射击时命中目标的概率分别为、、,现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：设A表示“目标被击中”，1B表示“炮弹距目标250米射出”，2B表示“炮弹距目标200米射出”，3B表示“炮弹距目标150米射出”，2312.02.01.07.005.01.005.01.0)()()()()(31111iiiBAPBPBAPBPABP=四、（满分16分）设,的密度函数为其他1008,yxxyyxp求：（1）求,的边际密度函数；（2）,是否相互独立？为什么？（3）yxp；（4）E。解：(1).1004)(,100141008),()(321其他同理其他其他yyypxxxxydyxdyyxpxpx（2）.)()(),(不独立与，故因为ypxpyxp（3）当10y时，其它其它yxyxyxyxyyxp002004823(4)54544)(105104ydyydyyypE五、（满分8分）若服从指数分布，其密度为000)(xxexpx求的分布函数)(yF。解：2222000()()()000()000010000yyxyyPyFyPyyypxdxyyyedxeyy六、（满分18分）（1）若随机事件A与B互斥，且0)(BP，证明：)()(1)(BPAPBAP证明：由A与B互斥，从而0)(ABP()1()()()()()1()()()PABPAPBPABPAPABPBPBPB（2）.设k是独立随机变量序列,且,...2,1,213kkPk证明k服从大数定律.证明：).(01111)(1,,21)(21)(,021)(2131322132212123223123123131nnnnnknDnDnkkkEDkkEnknkknkkkkkk独立时当故k满足马尔可夫条件,从而k服从大数定律.七、（满分8分）设随机变量n,...,,21相互独立、同分布，且niDEii,...,2,1,,2，令11nnkkn，求：（1）,nnED；（2）i与的相关系数r。（3）用特征函数法证明22211nPkkn解：（1）nDE2（2）kikiki20),cov(nnnnkkinkkii211),cov(1),cov(1),cov(nnnDDrii1),cov(2。