拉格朗日定理

泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用探讨【摘要】泰勒定理是把函数用多项式近似表示的重要依据,是数学分析课程的重要内容.给出了泰勒定理的证明,泰勒定理是拉格朗日中值定理的推广，相应地泰勒公式也是拉格朗日中值公式的推广．泰勒公式在数学以及其他学科当中有着广泛的应用，本文讨论了带有拉格朗日余项的泰勒公式之间的关系,从纯数学的方面说明了泰勒公式的应用，以及在近似计算、求极限、求导数、积分计算、判断级数收敛性、证明一些等式和不等式等方面的应用.【关键词】泰勒定理;泰勒公式;拉格朗日型余项一、泰勒定理及证明定理1:若函数f(x)在［a，b］上存在直至n阶的连续导涵数，在(a，b)内存在（n+1）阶导数，则对任意给定的x，x0∈［a，b］，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得()()()()()()()()()()()121'+!1nnnnfxffxfxxxfxxxxxxnnx++=-+-+鬃?+-+。。。。。。证明:作辅助函数()()()()()()()()',!nnftFtfxfxftxtxtn轾犏=-+-+鬃?-犏臌()()1nGtxt+=-所要证明的定理式即为()()()()()()()()()()11.1!1!nnfFxfFxGxnGxnxx++==++。。。或。()()[](),,,,xxFtGtxxxx不妨设。则与在。上连续，在。内可导且()()()()1',!nnftFtxtn+=--()()()'10.nGtnxt=-+-?()()0,FxGx==又因所以由柯西中值定理证得()()()()()()()()()()()1','1!nFxFxFxFfGxGxGxGnxxx+-===-+。。。。()(),,.xxabx翁其中。二、带有拉格朗日余项的泰勒公式若函数f(x)在［a，b］上存在直至n阶的连续导涵数，在(a，b)内存在（n+1）阶导数，则对任意给定的x，x0∈［a，b］，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得()()()()()()()()()()()121'+!1nnnnfxffxfxxxfxxxxxxnnx++=-+-+鬃?+-+。。。。。。上式称为泰勒公式，它的余项为()()()()()()()11,1!nnnnfRxfxTxxxnx++=-=-+。()(),01,xxxxqq=+-其中。。称为拉格朗日余项.所以上式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式.并且当n=0时，上式即为拉格朗日中值公式()()()()'.fxfxfxxx-=-。。故上式可看作拉格朗日中值定理的推广.顺便在此介绍一下拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：()[],;fabI若在闭区间上连续()(),fabII若在开区间内可导，(),abx则在内至少存在一点，使得()()()'.fbfafbax-=-在这里定理就不做证明了.由此可看出泰勒定理与拉格朗日中值定理之间的关系.xx=另当。时，得到泰勒公式()()()()()()()()()()12000'0,01.2!!1!nnfffxfxffxxnnqq+=+++鬃?++上式也称为（带有拉格朗日余项的）迈克劳林公式.三、泰勒定理及带有拉格朗日余项泰勒公式的应用(一)证明含高阶导数的值的问题()[]()()()1.11,110,11,'00,fxfff--===例设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且()()1,1'3.fxx-=证明：在开区间内至少存在一点，使得()0fxx=证明：将在处展开，得()()()()()230'0'0,2!3!fffxffxxxh=+++011xxxh==-其中介于与之间.将和分别代入以上展开式，并根据题设条件可得()()()()()()()121110100',110,262fffffffhh=-=+-==+1210,hh-其中，()()12''6.ffhh+=两式相减，得()[]12',Mmfxhh设和分别是在上的最大值和最小值，显然有()()12',',mfMmfMhh＃＃()()121''.2mffMhh轾??臌由连续函数的介值定理知，至少存在一点[]()12,1,1,xhh翁-使得()()()121'''3.2fffxhh轾=+=臌(二)证明等式和不等式()[]()()()2.1,,fxababfbfax$?+例设在上的二阶导函数连续，求证：，使得()()()31''.224abfbafbax骣+琪-+-琪桫()()()()()()(),0,',',xaFxftdtFaFxfxFxfx====ò证明：设则有()()'.Fxfx=(),2abcFxxc+==令在。处的二阶泰勒公式为()()()()()()()()23'',.2!3!FcFFxFcFcxcxcxccxhh=+-+-+-其中在与之间,xbxa==将分别代入上式然后相减得()()()()()()()312121''',,.3!2baFbFaFcbaFFaccbxxxx骣-轾琪-=-++琪臌桫()()()()()3121.2242baffabfxbafbaxx轾骣++犏琪=-+-琪犏桫臌ò即()()()()12,'..2fffabfxxxx+$?因连续，由介值性得，使得即证()()()()012.2010max2xfxfffx＃===例设函数二次可微，，，()01min16.xfx＃£试证：()[]0,1fx、证明：因在上连续，故有最大最小值.又根据题设条件可知最大值在()()0,1.0,1,xÎ内部达到所以存在。使得()()01max2,xfxfx＃==。()()'0.fxfx=于是，。为极大值，从而有。()(),0,1,fxxxhÎ将在。处展开，则必存在使得()()()()()2211000222ffxfxfxxx==+-=+。。。，()()()()()()22110=1121.22ffxfxfxhh=+-=+-。。。()()(){}()220144minmin,min--,1xfxffxxxh＃禳镲?睚镲-铪因此，。。()()2221444,1,min-,--16,211xxxx禳轾镲??犏睚犏镲臌--铪而当。时。。。()22214440,,min-,---16,.21xxxx禳轾镲??犏睚犏镲臌-铪当。时所以待证不等式成立。。。(三)求极限的问题2240cos3.1lim.xxxex®-例求()()22424552cos1,1,22428xxxxxxxexss=-++=-++解：由泰勒展开式得()2452cos-12xxxexs-=+相减得：，()24524400-cos112limlim-.12xxxxxxexxs+-==所以，(四)判定级数的收敛性1214.1,ln1.21nnnnuunn¥=+=--å例判定级数的收敛性其中n解：当时，有212ln1ln112121nnunnnn骣+琪=-=+-琪--桫()233322121212311,21221321321nnnnnnnnss轾骣骣骣骣+犏琪琪琪琪=-++-=+琪琪琪琪犏---桫桫桫桫-臌()32222313211limlim.1112nxxnnnunns骣++琪琪桫-==于是，（五）证明函数有界问题()()()()().1-,'-,fxfxfx?ゥ+?例5设函数在上三阶可导，并且和在上有界，()()()'-,.fxfx??求证：和也在上有界()()()()()2311'',2!3!fxhfxhfxfxhfxh+=+++证明：因()()()()()111,1'',2!3!hfxfxfxfxfx=?=+++分别取得()()()()()111'',2!3!fxfxfxfxfh-=-++()()()()()1112''',3!fxfxfxffxh轾+--=++臌两式相减得()()()()()03-2'2,-,sup,0,3.kkxfxMMxMfxk?+??违+?=所以其中()()0314,-,.3fxMMx?违+?同理两式相加得()()()'-,.fxfx??故和在上有界（六）同时求同一点的不同阶的导数值()()1306.1lim1,xxfxfxxex®轾犏++=犏臌例设函数在原点的某邻域内二阶可导，且()()()0'00.fff试求，，以及()()()01ln11ln1lim300lim1lim,xfxxfxxxxxxxxxfxexeex®轾犏++轾犏犏臌++犏臌轾犏=++==犏臌解：因为()0ln1lim3,xfxxxx®轾犏++犏臌=所以()()00limln10,limln0,xxfxfxxxxx轾轾犏犏++=+=犏犏臌臌于是必然有()()00ln13limlim.xxfxfxxxxxxx轾犏+++犏臌==所以()()3,0,0fxxxxxaa+从而其中，()()()()()210'0,2fxffxfxxs=+++而另一方面，显然有故由泰勒展开式的唯一性，有()()()0'00,04.fff===(七）近似计算()7.1100115fxxx==例求作在。的一次和二次泰勒多项式，利用它们计算的近似值并估计误差.100,x=解：由于。而()()()11,',-,24fxxfxfxxxx===()()()1110,',-,204000fxfxfx===。。。()fxx在。的一次泰勒多项式是()()()()1'50.05pxfxfxxxx=+-=+。。。()()1115pxfxx=用作为的近似表达式，容易求出当时()()111510.75fxpx=?故可估算出误差()()()()()()2210-0.02812522ffxfxpxxxxxx-=--=。。。11510.72380510.75-0.026鬃?的精确值为，与精确值相比较，近似值的误差大约等于，因而它有3位有效数字.()1px修正可进一步得出二次泰勒多项式()()()()2212fxpxpxxx=+-。。据此可得到新的近似值()()211510.750.02812510.721875fxpx=?-=这个结果有4位有效数字.2-120xeò例7.2求的近似值.()242-21-1.2!!nnxxxexn=-++鬃?+鬃?解：由于()242111112000001-12!!nnxxxedxdxxdxdxdxn-=-++鬃?+鬃?蝌蝌?逐项积分得()111111-132!5!21nnn=-+-鬃?+鬃?+11111111.310422161329936075600=-+-+-+-+鬃?710.000015.75600nRR?上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计式21-011111110.746836.3104221613299360xedx?+-+-+?ò所以（八）证明数的类型8.1.e例证明为无理数()()111=1+1++++,01.23!1!eeennqq鬃?+证明：由的泰勒展式得：！！据上式可得：()!!!341.1enennnnnq-++鬃?鬃?+=+()=,!.pepqnqneq倘若为正整数，则当时，为整数，从而上式左边为整数32.111eennnnq?+++因为，所以当时右边为非整数，矛盾.e从而只能是无理数参考文献【1】华东师范大学.数学分析（上、下册）.高等教育出版社.【2】同济大学.高等数学（上册）.高等教育出版社.【3】吉米多维奇.数学分析习题集解（四）.山东科学技术出版社.【4】C.H.爱德华.微积分发展史.北京出版社.【5】数值分析简明教程.王能超.编著.高等教育出版社.【6】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社.