小波变换入门

小波变换及其在图像处理中的典型应用赵丹培宇航学院图像处理中心2008年4月2/103目录一、从傅里叶变换到小波变换的时频分析法二、多分辨分析三、尺度函数与小波四、离散小波变换与二进小波变换五、小波变换的实现六、图像的多分辨分解与重建七、小波变换在图像边缘检测中的应用八、小波变换在图像去噪中的应用九、小波变换在图像融合中的应用3/103一、从傅里叶变换到小波变换的时频分析法傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息；短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。小波起源：“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是只具有正负交替的波动性，直流分量为0。小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。4/103傅里叶变换傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。jxFfxedx12jxfxFed5/103傅里叶变换x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声时间6/103短时傅里叶变换傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：(,)()()jtxSTFTxttedt时限频限7/103短时傅里叶变换8/103短时傅里叶变换图1短时傅里叶变换的分析特点(a)频率变化的影响(b)基本分析单元的特点9/103用镜头观察目标(待分析信号)。代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动。的作用相当于镜头向目标推进或远离。()ft()tbafb小波变换的粗略解释连续小波变换的定义10/103连续小波变换的定义尺度因子的作用是将基本小波做伸缩，越大越宽。a()ta()ta小波的位移与伸缩11/103连续小波变换的定义12/103连续小波变换的定义称为一个“基小波”或“母小波”。小波变换的含义是：把基本小波(母小波)的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。2()cd()()t设，当满足允许条件时：RLt2()t13/103连续情况时，小波序列为：(基本小波的位移与尺度伸缩)其中为尺度参量，为平移参量。离散的情况，小波序列为：0;,1,aRbaabtatbaabzkjkttjjkj,222,14/103根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必须有，所以可得到上式的等价条件为：此式表明中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称为“波”，为了使具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：0)()0(ˆdtt0)0(ˆ)(t)(t0,0,1)(1ctct15/103衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以称为小波。对于任意的函数的连续小波变换定义为：逆变换为：是尺度因子，反映位移。aRLtf2baRRbaffdtabttfadtttfbaw,21,,)()()(),(dadbabtbaWaCtffRR,112b16/103(),()()()xttbxttbdt()*()()()=()()xttxbtbdbxtbtdt内积：卷积：持续宽度相同振荡波17/10318/103线性设：平移不变性若，则伸缩共变性如果的CWT是则的CWT是冗余性(自相似性)由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的()tx(,)xabWT()xt(,)xWTab连续小波的性质：,xxtWTab,xxtWTab,,,xghWTabWTabWTabxtgtht19/103多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。小波变换的多分辨分析特性20/103是一个无限维向量空间，称为平方可积空间，将用它的子空间，表示，其中称为尺度空间，称为小波空间。尺度空间的递归嵌套关系：小波空间是和之间的差，即，它捕捉由逼近时丢失的信息。推出：21010VVVLRRL2RL2ZjjVjjZWZjjVjjZWjWjV1jV1jjjVWVjV1jV0011jjVRL21jVjV1jV0V多分辨率的空间关系图21/103两尺度方程若是尺度函数，它生成的多分辨分析，则必然存在系数序列，使得以下尺度关系成立:这就是两尺度方程，必须满足下列条件：定义函数为尺度函数，若其经过整数平移和尺度上的伸缩，得到一个尺度和位移均可变化的函数集合：RL2ZjjVkkZh0222kkkthtkhk2tLRkttjjkj222,kj02khk002khkhkll22/103和的基本性质是二尺度差分方程：二尺度方程的频域表示为tkjkjktht1222kjkjktgt12222nkh0nkgH22G22t23/103离散小波变换如果设定，则对于任意函数，定义相应的离散小波变换为：如果这时构成空间的一组规范正交基，对于任一的函数的反演式为一展开式：2,2,,jjabkjkZ/22,2()2(2),,jjjjkttkjkZ2()(,)ftL,(,)()(),,fjkWTjkfttdtjkZ,,()(,)fjkjkZftWTjk,jk2(,)L2()(,)ftL24/103二进小波及二进小波变换在连续小波变换中，令参数而参数仍取连续值，则有二进小波：这时，的二进小波变换定义为2,,jajZb/22,()22jjjbttb2*2,22jjjfWTbfttbdt2ftLR25/103Mallat算法与塔式分解系数分解的快速算法：mjmkjCkmhC,1,2mjmkjdkmgd,1,226/103系数重构的快速算法：mmjmmjkjkmgdkmhCC22,1,,127/103二维图像的小波变换实现假定二维尺度函数可分离，则有其中、是两个一维尺度函数。若是相应的小波，那么下列三个二维基本小波：与一起就建立了二维小波变换的基础。(,)()()xyxy1(,)()()xyxy2(,)()()xyxy3(,)()()xyxy(,)xy()x()y()x28/103图像的小波变换实现1.正变换图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像。LL1HL1LH1HH1LL2HL1LH1HH1HL2LH2HH2LH29/103在每一层，四个图像中的每一个都是由原图像与一个小波基图像的内积后再经过在x和y方向都进行二倍的间隔抽样而生成。对于第一个层次(j=1)可写成：图像的小波变换实现0021(,)(,),(2,2)AmnAxyxmyn10121(,)(,),(2,2)DmnAxyxmyn20221(,)(,),(2,2)DmnAxyxmyn30321(,)(,),(2,2)DmnAxyxmyn30/103将上式内积改写成卷积形式，则得到离散小波变换的Mallat算法的通用公式：10022,(,)(,)(2)(2)jjxyAmnAxyhxmhyn11022,(,)(,)(2)(2)jjxyDmnAxyhxmgyn12022,(,)(,)(2)(2)jjxyDmnAxygxmhyn13022,(,)(,)(2)(2)jjxyDmnAxygxmgyn图像的小波变换实现31/103图像的小波变换实现2.逆变换在每一层(如最后一层)都通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的4个阵列(即4个分解图像)；接着用重构低通滤波器h和重构高通滤波器g来卷积各行，再成对地把这几个的阵列加起来；然后通过在每行上面再插入一列零来将刚才所得两个阵列(图像)的大小增频采样为N×N；再用h和g与这两个阵列的每列进行卷积。这两个阵列的和就是这一层次重建的结果。32/103Mallat二维多分辨率分解与重构fAdJ12GH1212GHGH21212121fDj32fDj22fDj12fAj2列行12fDj32fDj22fDj12fAj2列行GHGH2121GH4fAdJ12X用滤波器X进行卷积21向上采样隔行插零21向下采样隔行抽值12121212向上采样隔列插零412向下采样隔列抽值象素值乘433/103Mallat快速塔式分解34/103多孔算法LL1HL1LH1HH1LLL2HL2LH2HH2fAdJ12GHGHGHfDj32fDj22fDj12fAj2列行35/103多孔算法36/103边缘像素实质上是局部图像范围内灰度的急剧变化点(奇异点)，图像边缘就是二维图像中奇异点的集合。边缘点在频域表现为高频信号，而图像噪声也多为高频信号，这使得两者难以区分。边缘检测的目的就是既要将高频信号从图像中分离出来，又要区分边缘与噪声，准确地标定边缘的位置。4.2基于小波分析的图像边缘检测方法37/1034.2基于小波分析的图像边缘检测方法小波多尺度局部模极大值边缘检测的原理小波多分辨率边缘检测的具体实现小波函数的选取自适应阈值的选取利用边缘信息进行目标定位仿真实验38/103小波多尺度局部模极大值边缘检测的原理假设是二维平滑函数，且满足，可把它沿两个方向上的导数作为基本小波：对于一幅图像，其小波变换为(2)(,)(,)xyxyy),(yx0),(dxdyyx(1)(,)(,)xyxyxyx,(1)(1)21(,)(,)axyxyaaa(2)(2)21(,)(,)axyxyaaa),(),(2),(),(),(),(2),,2(),,2()2()1(yxyxfgradyxyxfyyxyxfxyxfWyxfWajaajjjTT),(yxf39/103整个图像的二进小波变换即矢量：模值为：相角为：),,2(),,2(),,2()2()1(yxfWyxfWyxfWjTjjTT2)2(2)1(),,2(),,2(yxfWyxfWjjTT),,2(),,2(),()1()2(12yxfWyxfWtgyxAfjjTTj40/103小波多分辨率边缘检测的具体实现搜寻模极大值：41/103噪声的滤除(1)阈值法硬阈值，软阈值，自