等比数列--公开课一等奖课件

1．等比数列的概念(1)定义：叫做等比数列，首项记作a1，公比记作q.(2)数学表示式：．(3)等比中项：，那么G叫做a和b的等比中项．即.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就an＋1an＝q(n∈N*)如果三个数a、G、b成等比数列G2＝ab2．通项公式对于等比数列{an}，则an＝.3．前n项和公式当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝.a1qn－1＝amqn－mna1a11－qn1－q＝a1－anq1－q4．等比数列的常用性质(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则有．(2)若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……仍是等比数列．且公比为.ap·aq＝am·an(q，p，m，n∈N*)qn1．(2010·广州一模)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．[答案]72．(2010·辽宁，3)设Sn为等比数列{an}的前n项和．已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝()A．3B．4C．5D．6[解析]两式相减，3(S3－S2)＝a4－a3,4a3＝a4，＝4＝q，故选B.[答案]B3．(2010·课标全国，17)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.求数列{an}的通项公式．[解]由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1，而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.[解]利用等比数列的性质，建立a1、an的方程组求出n与q.a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1＝2，an＝64，或a1＝64，an＝2.又Sn＝a1－anq1－q＝126，∴q＝2，n＝6，或q＝12，n＝6.[点评与警示]在等比数列中有五个重要的量a1，an，q，n，Sn，只要已知任意三个，就可以求出其他两个，其中a1和q是两个最重要的量，通常要先求出a1与q.但运用求和公式时，要注意q是否为1.已知等比数列{an}中，a1＋a6＝66，a2a5＝128，求公比q和前6项和S6以及an.[解]∵{an}是等比数列，∴a1·a6＝a2·a5，∴a1＋a6＝66a1·a6＝128，解得a1＝2a6＝64或a1＝64a6＝2①若a1＝2，a6＝64，则2·q5＝64∴q5＝32∴q＝2由S6＝a11－q61－q＝21－641－2＝126，an＝2n②若a1＝64，a6＝2，则64·q5＝2∴q5＝132∴q＝12由S6＝a11－q61－q＝641－1641－12＝126，an＝12n数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3……求：(1)a2、a3、a4的值；(2)判断{an}是否为等比数列，并求{an}通项公式；(3)求Sn.[解](1)由a1＝1，an＋1＝13Sn，n＝1,2,3，…得a2＝13S1＝13a1＝13，a3＝13S2＝13(a1＋a2)＝49，a4＝13S3＝13(a1＋a2＋a3)＝1627(2)数列{an}不是等比数列由an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，得an＋1＝43an(n≥2)，又a2＝13，∴an＝13·(43)n－2(n≥2)∴{an}通项公式为an＝1n＝113·43n－2n≥2(3)由(2)可知a2、a3、…an是首项为13，公比为43，项数为n的等比数列．∴a2＋a3＋a4＋…＋an＝13×1－43n－11－43＝(43)n－1－1∴Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝(43)n－1[点评与警示]等比数列常见的判定方法有：(1)an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)an＋12＝an·an＋2，(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)an＝cqn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．若把例题中的条件改为an＋1＝13Sn＋1，n＝1,2,3……，思考数列{an}是否为等比数列．若是请证明并求通项公式，若不是说明理由．[解]数列{an}是等比数列∵an＋1＝13Sn＋1∴an＝13Sn－1＋1∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)，∴an＋1＝43an(n≥2)，∴an＋1an＝43(n≥2)，当n＝1时，有a2＝13S1＋1＝43，∴当n＝1时有a2a1＝43，∴数列{an}是等比数列且公比q＝43，首项a1＝1，∴an＝(43)n－1.数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3＝4.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若an＝log2bn＋3，求证数列{an}是等差数列；(3)若a12＋a2＋a3＋…＋am≤a46，求m的最大值．[解](1)由b1b3＝4b1＋b3＝5知b1，b3是方程x2－5x＋4＝0的两根，注意到bn＋1＞bn得b1＝1，b3＝4.∴b22＝b1b3＝4得b2＝2.∴b1＝1，b2＝2，b3＝4∴等比数列{bn}的公比为2，∴bn＝b1qn－1＝2n－1(2)an＝log2bn＋3＝log22n－1＋3＝n－1＋3＝n＋2.∵an＋1－an＝[(n＋1)＋2]－[n＋2]＝1∴数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．(3)由(2)知数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，有a12＋a2＋a3＋…＋am＝a12＋a1＋a2＋a3＋…＋am－a1＝32＋m×3＋mm－12×1－3＝6＋3m＋m2－m2a46＝48∴6＋3m＋m2－m2≤48，整理得m2＋5m－84≤0，解得－12≤m≤7∴m的最大值是7.[点评与警示]本题考查了等比数通项公式为指数函数，通过对数又可以转化为等差数列．若Sn是数列{bn}的前n项和，an＝log2(Sn＋1)＋3(n∈N*)，那么数列{an}是否还是等差数列，若是求使得a12＋a2＋a3＋…＋am≤a24成立的m的最大值；若不是说明理由．[解]由例题可知Sn＝2n－1，∴an＝log2(Sn＋1)＋3＝log22n＋3＝n＋3∴an＋1－an＝[(n＋1)＋3]－(n＋3)＝1∴数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列∴a24＝4＋23＝27a12＋a1＋a2＋a3＋…＋am－a1＝a12＋a1＋a2＋a3＋…＋am－a1＝16＋4m＋mm－12－4＝12m2＋72m＋12∴12m2＋72m＋12≤27整理得m2＋7m－30≤0解得－10≤m≤3，∴m的最大值为3.设正项等比数列{an}的首项a1＝12，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn.[解](1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0得210(S30－S20)＝S20－S10即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20因为an0，所以210q10＝1解之得q＝12.∴an＝a1qn－1＝12·(12)n－1＝12n，n＝1,2，….(2)因为{an}是首项a1＝12，公比q＝12的等比数列．故Sn＝121－12n1－12＝1－12n，nSn＝n－n2n则数列{nSn}的前n项和Tn＝(1＋2＋…＋n)－(12＋222＋…＋n2n)①Tn2＝12(1＋2＋…＋n)－(122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1)②①－②得Tn2＝12(1＋2＋…＋n)－(12＋122＋…＋12n)＋n2n＋1＝nn＋14－121－12n1－12＋n2n＋1∴Tn＝nn＋12＋12n－1＋n2n－2.[点评与警示]本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式错位相消法求和．数列{nSn}是由{n}与{nan}的差构成，而{nan}又是由{n}与{an}对应项的积构成的，不要误认为{nan}是等比数列．若(2)中的数列为{nan}，求数列{nan}的前n项和Tn.[解]由例题可得an＝12n，∴nan＝n2n∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n①12Tn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1②①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1＝1－2＋n2n＋1∴Tn＝2－2＋n2n1．确定等比数列的关键是确定首项a1和公比q.2．等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1、q、n、an、Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量．3．使用等比数列的前n项的和的公式时，必须要弄清公比q是否可等于1，如果q可能等于1，则需分q＝1和q≠1进行讨论．4．若奇数个数成等比数列且积为定值时，可设中间三项为aq，a，aq；若偶数个同号的数成等比数列且积为定值时，可设中间两项为aq，aq，其余各项再依据等比数列的定义进行对称设元．5．判断等比数列的几个等价形式．an＝cqn(c、q≠0，n∈N*)；an＋12＝an·an＋1(an≠0)；Sn＝A·qn－A(A≠0、q≠0、1)．6．数列求和的常用方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化法等．