向量数乘运算及其几何意义说课稿

向量数乘运算及其几何意义说课稿说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第二节“平面向量的线性运算”的第三课时---向量数乘运算及其几何意义。下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。一、背景分析1、学习任务分析向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排一课时，主要研究数乘运算及其几何意义、共线向量定理及其应用。本节课的主要学习任务是通过物理中“位移”的事例抽象出向量数乘运算的概念，在此基础上探究数乘运算的定义与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数乘运算的定义既是对物理背景的抽象，又是研究几何意义和运算律的基础。2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，具备了位移等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究运算律。这为学生学习向量数乘运算做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。二、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：①通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.②理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.③通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.从以上的背景分析可以看出，数乘运算既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“位移”的实例都发挥了重要作用。综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：1、理解数乘运算的定义及其几何意义；2、掌握数乘运算的运算律，并能运用运算律进行相关的运算和判断；3、理解共线向量定理，并能熟练应用定理。三、课堂结构设计依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：回顾向量的加减运算创设问题情景回顾向量加减运算的研究方法物理背景------位移抽象概念几何意义探究运算律探究运算律证明运算律探究定理探究定理应用定理应用概念例题与练习即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数乘运算的概念，在此基础上研究数乘运算的运算律和定理，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。四、教学媒体设计为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。2、设计科学合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。五、教学过程设计课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下六个活动：活动一：创设问题情景，激发学习兴趣正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。向量的数乘运算，和向量的加减运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用问题3：一物体在力F的作用下产生位移S，问题1的设计意图在于使学生了解数乘运算的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数乘运算与向量的加法、减法一样，都是向量的运算。问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。问题3的设计意图在于使学生了解数乘运算的物理背景，让学生知道，我们研究数乘运算绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数乘运算的概念做好铺垫。活动二：探究数乘运算的概念1、概念的抽象在分析“位移”的计算公式的基础上提出问题4问题4：你能分别画出一秒的位移和3秒的位移吗？他们之间有什么样的联系？学生通过作图不难回答：3秒的位移的大小是一秒的3倍。这样，学生事实上已经得到数乘运算的概念了，在此基础上，我进一步明晰数乘运算的概念。2、概念的明晰一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：3、探究数乘运算的几何意义活动三：探究数乘运算的运算律设λ、μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.活动四：应用与提高例1计算:(1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(a-b)-a;(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.变式训练若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.解:因3m+2n=a,①m-3n=b.②3×②得3m-9n=3b.③①-③得11n=a-3b.∴n=111a-113b.④将④代入②,有m=b+3n=113a+112b.点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.图2例2如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.活动五：小结提升与作业布置1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、共线向量定理的应用是什么？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4、类比向量的加减运算，我们还应该怎样研究数乘运算？通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。布置作业：1、课本P91习题2.2A组9、10。2、拓展与提高：B组3在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数乘运算的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。六、教学评价设计评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。