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.......wd..案例研习：因式分解一、案例背景设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学学生：衢州市新星初中八年级一班45人教材：人教版八年级上册因式分解二、学情分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。三、知识分析。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。四、学习目标知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。.......wd..教学难点：1、分解因式与整式乘法的区别和联系。2、正确找出多项式各项的公因式。五、教学资源借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。六、教学过程问题与情境师生互动媒体使用与教学评价问题1：一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为15m，22m，13m，宽都是10m,求这块场地的面积.若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积是多少？问题2：开动脑筋，看谁有好方法算得快（1）已知：x=5，a-b=3，求ax2-bx2的值。（2）已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。你能说说你算得快的原因吗？【教师活动】（1）出示问题1，引领学生交流解法：解法一：S=15×10+22×10+13×10=150+220+130=500解法二：S=15×10+22×10+13×10=10（15+22+13）=10×50=500从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些。这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式。ma+mb+mc或m（a+b+c），可以用等号来连接：ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边有什么特点？（2）出示问题2（1），引导学生口答（1）后，进一步激励学生思考（2）（3），提名回答。（3）以“算得快的原因——把多项式化成了几个整式的积的形式”为线索提出问题：怎样把一个多项式化成了几个整式的积的形式”，过渡到下一活动。（4）关注并适时评价学生的【媒体使用】（1）出示问题1及各种解答结果。（2）出示问题2。【赏析】（1）问题1通过实际问题引入旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．为建立因式分解起过渡作用。（2）问题2（1）（2）引发认知冲突，激发学生学习兴趣。.......wd..表现。【学生活动】（1）观察式子特征。（2）同桌相互交流，探索方法。（3）独立尝试解决问题2，并交流共享。（一）探索概念问题3：回忆：运用已学过的知识填空：⑴x(x+1)=;⑵(x+1)(x-1)=;⑶(a+b)2=.问题4：探究：下列式子的右边的空你会填吗？⑴x2+x=;⑵x2-1=;⑶a2+2ab+b2=.问题5：观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？（二）归纳概念问题6：思考：谁能用文字语言表述什么叫因式分解？（三）理解概念问题7：下列各式从左到右哪些是因式分解？①m2-m＝m(m-1)()②x(x-y)＝x2-xy()③(a+3)(a-3)＝a2-9()④a2-2a+1＝a(a-2)+1()⑤x2-4x+4＝(x-2)2()问题8：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分（一）探索概念问题3：回忆：运用已学过的知识填空：⑴x(x+1)=;⑵(x+1)(x-1)=;⑶(a+b)2=.问题4：探究：下列式子的右边的空你会填吗？⑴x2+x=;⑵x2-1=;⑶a2+2ab+b2=.问题5：观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之间的联系与区别吗？（二）归纳概念问题6：思考：谁能用文字语言表述什么叫因式分解？（三）理解概念问题7：下列各式从左到右哪些是因式分解？①m2-m＝m(m-1)()②x(x-y)＝x2-xy()③(a+3)(a-3)＝a2-9()④a2-2a+1＝a(a-2)+1()⑤x2-4x+4＝(x-2)2()问题8：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分【媒体使用】依次出示问题3——10，结合学生活动展示问题3——10解决过程。【赏析】（1）经历将已有知识的逆向思考与对比，帮助学生建构新知。（2）理解新知的形成过程，帮助学生获得观察类比、归纳概括的数学活动经验，培养学生清晰而有条理地表达自己的思考过程的能力和科学意识，进一步发展联想、逆向思维能力。（3）把学生推到思维的前沿，让学生自探数学知识，自获数学结论，自由发表见解，自觉积累数学活动经验、建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。.......wd..解?(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a－5)(a+5)=a2－25(6)m2－4=(m+2)(m－2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).（四）探索概念问题9：ma+mb+mc这个多项式有什么特征？比较：m(a+b+c)＝ma+mb+mc()ma+mb+mc＝m(a+b+c)()（五）探索方法问题10：怎样确定公因式？解?(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；(4)x2+4x+4=(x+2)2；(5)(a－5)(a+5)=a2－25(6)m2－4=(m+2)(m－2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).（四）探索概念问题9：ma+mb+mc这个多项式有什么特征？比较：m(a+b+c)＝ma+mb+mc()ma+mb+mc＝m(a+b+c)()（五）探索方法问题10：怎样确定公因式？题组一：1、找出3x2–6x的公因式。2、指出下列各多项式中各项的公因式：①ax+ay+a②3mx-6nx2③4a2b+10ab2④x4y3+x3y3⑤12x2yz-9x3y2题组二：1、把8a3b2+12ab3c分解因式2、把下列各式分解因式：⑴x2+x6；⑵8m2n+2mn；⑶-12xyz-9x2y2.题组三：1、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式2、把2a(y-z)-3b(z-y)分解因式【教师活动】（1）出示题组一，1题引导学生找公因式的方法，2题根据学生回答，适时评价学生的表现，用PPT展示确认，强调方法。（2）出示题组二、1题，先引导分析找公因式，再板演解题过程。2题学生板演，然后用PPT展示确认，强调方法。（3）出示题组三，让学生知道公因式也可以是多项式。1题作例题，2、3题作练习，教师进行行间巡视，关注学困生，关注参与面；引导学生对解答情况进行评价。（4），进行适时评价。（【学生活动】（1）口答题组一，口述理由。（2）独立完成题组二，关注【媒体使用】出示题组一、二、三及其答案；实物展台展示部分学生解决题组三、四的过程【赏析】（1）帮助学生学会确定公因式，提取公因式。（2）题组一旨在学会确定公因式；题组二旨在学会较简单的提公因式的方法；题组三旨在探索公因式为多项式的较复杂的提公因式方法，使学生明确公因式不仅是单项式，还可以是多项式，帮助学生加深理解，并锻炼其.......wd..3、先分解因式，再求值。4a2（x+7）-3（X+7），其中a=-5，x=3并评价同伴表现。（3）在教师的指导下完成题组三，参与集体评价。克服困难的意志，发展学生的合作意识。（3）多媒体的使用有利于节时增效，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？（2）教师概括小结，重点强调：本节课主要学习1、什么叫因式分解？它与整式乘法有何区别？2、确定公因式的方法：一看系数；二看字母；三看指数。3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：第一步，找出公因式；第二步，提公因式。4、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉；（3）多项式的首项取正号。【教师活动】引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。【学生活动】按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题【媒体使用】（略）【赏析】使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。必做题课本P170习题15.4第1题；第4题的(1)；第6题。选作题：（略）【教师活动】课件展示作业题【学生活动】按照要求自主完成作业【媒体使用】【赏析】随时搜集掌握评定学生尝试学习效果，及时回授评定的结果，以便有针对性地组织质疑和讲解，帮助学生克服思维障碍，补救知识或方法方面的漏.......wd..洞。为使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造条件，作业层推荐、分类要求。七、教学流程活动一创设情境，导入新课：以寻求快速计算方法为背景创设问题情境，激发其求知欲。活动二诱导尝试，探究新知：1、回顾整式乘法并尝试探究把多项式化成几个整式的积，引领学生探究比较其联系与区别、归纳因式分解概念，通过识别理解概念。2、通过探究ma+mb+mc这个多项式的特征，建立公因式和提取公因式概念，并学习找公因式和提取公因式的方法。活动三变式训练，巩固新知：通过有梯次的三个训练题组，巩固提公因式的方法，达到举一反三，触类旁通。活动四全课小结，内化新知：将知识归类细化，纳入已有的知识体系。活动五推荐作业，延展新知:分类