(完整版)线性代数应用实例

线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数()ft上4个点的值，试求三次插值多项式230123()ptaatatat，并求(1.5)f的近似值。解：令三次多项式函数230123()ptaatatat过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：627931842033210321032100aaaaaaaaaaaaa对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入：A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27],b=[3;0;-1;6],s=rref([A,b])得到x=100030100-20010-200011得到01233,2,2,1aaaa，三次多项函数为23()322ptttt，故(1.5)f近似等于23(1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5)1.125p。在一般情况下，当给出函数()ft在n+1个点(1,2,,1)itin上的值()ift时，就可以用n次多项式2012()nnptaatatat对()ft进行插值。在数字信号处理中的应用-----数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。ti0123f(ti)30-16图1某数字滤波器结构图u2x1y1/41/4z1x3x2z13/8由于迟延算子z1不是数，要用符号代替，所以取qz1，按照图示情况，可以写出：1223312311844xqxuxqxuxx写成矩阵形式为112233002311008440100qxxxqxxxxux=Qx-Pu经过移项后，系统函数W可以写成：W=x/u=inv(I-Q)*P现在可以列写计算系统函数的MATLAB程序ea705，symsq%规定符号变量Q(1,2)q;Q(2,3)=3/8*q1/4;Q(3,1)=1;%给非零元素赋值Q(3,3)=0;%给右下角元素Q（3,3）赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零P=[2;1/4;0]%给P赋值W=inv(eye(3)Q)*P%用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W=[16/(83*q^22*q)2*q/(83*q^22*q)][2*(3*q2)/(83*q^22*q)2/(83*q^22*q)][16/(83*q^22*q)2*q/(83*q^22*q)]我们关心的是以yx3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3))整理后得到1222116288(3)8321.541.54yqqzWuqqqqzz用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。信号与系统课程中的应用-----线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为,dddddddddd111121ubtubtubyatyatyatyammmmnnnnnn≥m已知y及其各阶导数的初始值为y(0)，y(1)(0)，…，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）tpntptpnCCCtyeee)(2121其中p1，p2，…，pn是特征方程a1n+a2n-1+…+an+an+1=0的根，它们可用roots(a)语句求得。各系数C1，…，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有C1+C2+…+Cn=y0y0=y(0)p1C1+p2C2+…+pnCn=Dy0(Dy0表示y的导数的初始值y(1)(0))…………………………………011212111DyCpCpCpnnnnnn写成矩阵形式为0100211121121DD111yyyCCCppppppnnnnnnn即V·C=Y0，其解为C=V\Y0式中112000[,,,];[,D,,D]nnCCCyyyTT0CY1121121111nnnnnppppppVV为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。MATLAB程序ea703.ma=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]=');n=length(a)-1;Y0=input('输入初始条件向量Y0=[y0，Dy0，D2y0，...]=');p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';dt=input('dt=');tf=input('tf=')t=0:dt:tf;y=zeros(1，length(t));fork=1:ny=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t，y)，grid程序运行结果用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[3，5，7，1];dt=0.2;tf=8;而Y0取[1，0，0];[0，1，0];[0，0，1]三种情况，用holdon语句使三次运行生成的图形画在一幅图上，得到图2。减肥配方的实现设三种食物每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了80年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。现在的问题是：如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少？才能全面准确地实现这个营养要求。营养每100g食物所含营养(g)减肥所要求的每日营养量脱脂牛奶大豆面粉乳清蛋白质36511333碳水化合物52347445脂肪071.13设脱脂牛奶的用量为x1个单位（100g），大豆面粉的用量为x2个单位（100g），乳清的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：图2三阶系统的零输入响应12136511352,34,74,071.1aaa则它们的组合所具有的营养为112233123365113523474071.1xaxaxaxxx使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：1233651133352347445071.13xxAxbx用MATLAB解这个问题非常方便，列出程序ag763如下：A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1]b=[33;45;3]x=A\b程序执行的结果为：0.27720.39190.2332x即脱脂牛奶的用量为27.7g，大豆面粉的用量为39.2g，乳清的用量为23.3g，就能保证所需的综合营养量。人口迁徙模型设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示，即,ckkskxxx其中xc为市区人口所占比例，xs为郊区人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始状态：0000.30.7csxxx。一年以后，市区人口为xc1=(1-0.02)xc0+0.06xs0，郊区人口xs1=0.02xc0+(1-0.06)xs0，用矩阵乘法来描述，可写成：11010.940.020.30.29600.060.980.70.7040csxxAxx此关系可以从初始时间到k年,扩展为2120kkkkxAxAxAx,用下列MATLAB程序进行计算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=A*x0,x10=A^10*x0x30=A^30*x0x50=A^50*x0程序运行的结果为：11030500.29600.27170.25410.2508,,,,0.70400.72830.74590.7492xxxx无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果。选u1为稳态向量[0.25,0.75]T的任意一个倍数，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T。可以看到，用A乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度，不影响其相角（方向）：110.940.02110.060.9833Auu220.940.0210.920.920.060.9810.92Auu初始向量x0可以写成这两个基向量u1和u2的线性组合；0120.30110.250.050.250.050.7031xuu因此0120.250.05(0.82)kkkxAxuu式中的第二项会随着k的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要k27，这第二项就可以忽略不计而得到01270.250.250.75kkkxAxu适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点A,B,C,D的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量（每小时的车流数）标于图上。现要求计算每两个节点之间路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点A:x1+450＝x2+610节点B:x2+520＝x3+480节点C:x3+390＝x4+600节点D:x4+640＝x2+310将这组方程进行整理，写成矩阵形式：12233414=160=-40-=210=-330xxxxxxxx其系数增广矩阵为：1116011-40[,]1121011-330Ab用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用U0=rref([A,b]),可以得出其精简行阶梯形式为100-1330010-1170U0=001-121000000注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x2,x3,x4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程，其结果为：x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100＝0由于最后一行变为全零