函数的极值和最值讲解

函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值函数的极值的定义一般地，设函数)(xf在点0xx及其附近有定义，（1）若对于0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值，记作函数的极值和最值函数在闭区间上的最大值和最小值函数的极值函数极值的定义函数极值点条件求函数极值)(0xfy极大值；（2）若对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(0xfy极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.要点诠释：求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数)(xf；③求方程0)(xf的根；④检查'()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数()yfx在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba上必有最大值和最小值；在开区间),(ba内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值.如1()(0)fxxx.要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。2.通过导数求函数最值的的基本步骤：若函数()yfx在闭区间],[ba有定义，在开区间(,)ab内有导数，则求函数()yfx在],[ba上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf；（2）求方程0)(xf在),(ba内的根；（3）求在),(ba内使0)(xf的所有点的函数值和)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，)(bf；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()yfx在闭区间],[ba上的最大值，最小者为函数()yfx在闭区间],[ba上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题例1.已知函数.,33)(23Rmxxmxxf若函数1)(xxf在处取得极值，试求m的值，并求)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程；【解析】2'()363,.fxmxxmR因为1)(xxf在处取得极值所以'(1)3630fm所以3m。又(1)3,'(1)12ff所以)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程312(1)yx即1290xy.举一反三：【变式1】设a为实数，函数22,xfxexaxR．(1)求fx的单调区间与极值；(2)求证：当ln21a且0x时，221xexax．【解析】（1）由()22,xfxexaxR知()2,xfxexR．令()0fx，得ln2x．于是当x变化时，(),()fxfx的变化情况如下表：－0+单调递减单调递增故()fx的单调递减区间是(,ln2)，单调递增区间是(ln2,)，()ln2fxx在处取得极小值，极小值为ln2(ln2)2ln222(1ln2).feaa(2)证明：设2()21xgxexax，xR于是()22xgxexa，xR由(1)知当ln21a时，()gx最小值为(ln2)2(1ln2)0.ga于是对任意xR，都有()0gx，所以()gx在R内单调递增．于是当ln21a时，对任意(0,)x，都有()(0)gxg．而(0)0g，从而对任意(0,),()0xgx．即2210xexax，故221xexax．【变式2】函数()fx的定义域为区间（a，b），导函数'()fx在（a，b）内的图如图所示，则函数()fx在（a，b）内的极小值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数()fx的极小值点，故选A。类型二：利用导数解决函数的最值问题【高清课堂：函数的极值和最值394579典型例题三】例2.已知函数2()(),xfxxmxme其中mR。（1）若函数()fx存在零点，求实数m的取值范围；（2）当0m时，求函数()fx的单调区间；并确定此时()fx是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。【解析】（1）因为函数()fx存在零点，则20xmxm有实根，240mm，即04mm或（2）当0m时，函数定义域为R由()0fx，则02xxm或由()0fx，则02xxm或由()0fx，则20mx列表如下：+0-0+增极大值减极小值增所以()fx在(,2)m，(0,)上单调增，在(2,0)m上单调减。又知当2xm且时，()0fx；0x且时，()0fx；而(0)0fm，所以()fx存在最小值(0)fm.举一反三：【变式】已知函数2()1fxax(0a),3()gxxbx.(1)若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,ab的值;(2)当24ab时,求函数()()fxgx的单调区间,并求其在区间(,1]上的最大值.【解析】(1)由1c，为公共切点可得:2()1(0)fxaxa,则()2fxax,12ka,3()gxxbx,则2()=3gxxb,23kb,23ab①又(1)1fa,(1)1gb,11ab,即ab,代入①式可得:33ab.(2)24ab,设3221()()()14hxfxgxxaxax则221()324hxxaxa,令()0hx,解得:12ax,26ax;0a,26aa,原函数在2a，单调递增,在26aa，单调递减,在6a，上单调递增①若12a≤,即02a≤时,最大值为2(1)4aha;②若126aa,即26a时,最大值为12ah③若16a≥时,即6a≥时,最大值为12ah.综上所述:当02a，时,最大值为2(1)4aha;当2,a时,最大值为12ah.例3.设3211()232fxxxax．（Ⅰ）若()fx在(,）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（Ⅱ）当02a时，()fx在[1，4]上的最小值为163，求()fx在该区间上的最大值．【解析】（Ⅰ）由2211()2224fxxxaxa．当2,3x时，()fx的最大值为22239fa；令2209a，得19a，所以，当19a时，()fx在2,3上存在单调递增区间．（Ⅱ）令()0fx，得两根11182ax，21182ax．所以()fx在1(,)x，2(,)x上单调递减，在12(,)xx上单调递增．当02a时，有1214xx，所以()fx在[1，4]上的最大值为2()fx．又27(4)(1)602ffa，即(4)(1)ff，所以()fx在[1，4]上的最小值为4016(4)833fa，得1a，22x，从而()fx在[1，4]上的最大值为10(2)3f．举一反三：【变式1】设函数22()log(1)log(1)(01),fxxxxxx求)(xf的最小值;【解析】函数f（x）的定义域为（0，1）令1'()02fxx得当102x时，'()0fx,∴()fx在区间1(0,)2是减函数；当112x时，'()0fx,∴()fx在区间1(,1)2是增函数.∴()fx在12x时取得最小值且最小值为1()12f.【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b由f?（23－）＝124ab093－＋＝，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝12－，b＝－2f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－?，－23）－23（－23，1）1（1，＋?）f?（x）＋0－0＋f（x）?极大值?极小值?所以函数f（x）的递增区间是（－?，－23）与（1，＋?），递减区间是（－23，1）（2）f（x）＝x3－12x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－23时，f（x）＝2227＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2。类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)cc千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r．【解析】(1)设容器的容积为V，由题意知2343Vrlr，又803V，故322248044203333Vrlrrrrr．由于2lr，因此02r．所以建造费用2224202342343yrlrcrrrcr，因此21604(2)ycrr，02r．(2)由(1)得3221608(2)208(2)2cycrrrrc，02r．由于3c，所以20c，当32002rc时，3202rc．令3202mc，则m＞0，所以2228(2)()()cyrmrrmmr．①当02m即92c时，当rm时，0y；当(0,)rm时，0y；当(,2)rm时，0y，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点．②当2m即932c时，当(0,2)r时，0y函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当932c时，建造费用最小时2r，当92c时，建造费用最小时3202rc．