量子力学§3.2一维方势阱

§3.2一维方势阱求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数一、一维无限深方势阱V=0EV→∞V→∞V(x)x0a粒子在阱内自由运动不能到阱外势函数)(xV0(x)ax阱外0)(xV阱内)(ax0定态薛定谔方程阱外：22112()()2xExxdd22222()()2xExxdd阱内：根据波函数的统计解释阱外2()0,0xxax222d()()2dxExx阱内(为了方便将波函数脚标去掉)•令222Ek22=Ek2()()0xkx将方程写成•通解()sincosxAkxBkx式中A和B是待定系数由波函数标准条件和边界条件定特解通解是0B20(0)(0)0x时，()sinxAkxsin0Aka2()()0xaaa时ⅰ解的形式()sincosxAkxBkx解的形式为ⅱ能量取值波函数的连续性。)0(πknka),3,2,1(πnanksin0AkaB已经为零了A不能再为零了即A≠02222π(1,2,3,)2nEnna222nmEk＝222πan只能sinka等于零要求故能量可能值但由上式()sinxAkxsin0xa00,nnnAxaxxa，ⅲ本征函数系由归一化条件确定常数A*0()()axxxd12nAa•本征函数2π()sin(1,2,3,)nnxxnaa考虑到振动因子tEine,()iEtnnnxtxe定态波函数),3,2,1(πsin2nexanatnEi薛定谔方程的一般解：......讨论2222π(1,2,3,)2nEnna1、能量每个可能的值叫能量本征值，束缚态粒子能量取值分立(能级概念)。能量量子化。体系最低能量的态称为基态。其他态称为激发态。基态能量不为零——量子效应，（1）、能量量子化能量是分立的，相邻能级间距：2212(21)2nnnnEEEa所以当n时，相邻能级的相对间距：0n2EEnn当n很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况，即经典物理可以看成是量子物理中量子数n时的近似。（2）、当n趋于无穷时,能量趋于连续（对应原理）。2、波函数22akn（1）驻波解。πnka2n即：a波函数与横轴相交次数（不含两端）称为节点数，显然为n-1n有1n个节点（与x轴的交点，即0n的点且除去两端点）；2n有n个极大值，两极大值之间有一零点，共1n个零点。（2）、一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度x4x3x2x14E3E2E1E)(xoa23x3n24x4n22x2n21x1naoa212a323a24an时，量子经典符合玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0平均效应明显3、若势阱为：axaxxV,,0)(对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率是不同的。axaxaxanaxn0),(2sin1)(22222222na8n)a2(2nE(,...3,2,1n)ax0ax,5,3,1nxa2ncosa1ax6,4,2nxa2nsina1)x(naxax)ax(ansina)x(n021或表示为当为偶数时，，即具有奇宇称。当为奇数时，，即具有偶宇称。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xn本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称：而导致的。)()(xUxU由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：第一、确定粒子势能表达式（有的问题直接给出）；第二、写出定态薛定谔方程，引入参数，把方程化为标准的微分方程，写出通解；第三、利用波函数满足的标准条件（单值、有限、连续），求能量本征值和本征函数。第四、利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。二、一维有限深方势阱2/||2/||0)(0axVaxxV为阱深。为阱宽，0Va00VE讨论束缚态，即势的特点：空间反射对称0xa/2-a/2V0V0V(x)E写出分区定态方程在阱外(经典禁介区)22222d20(2)dEx在阱内(经典允许区)210122d2()0(1)dVEx02()VE令2Ek211''0方程(1)、（2）变为0''222k112212312()2()sincos22()2xxxxaxAeAexaaxBkxBkxxaxCeCex有限性：A2=0，C1=0。)(sin奇宇称态kxE按照上节定理，其束缚态能量的本征函数不简并，形式。偶宇称态或)(coskx2x且必有确定的宇称，因此只能取，考虑到空间反射不变性，即)()(xVxV2()~cos||2axkxx1、偶宇称态112232()2()cos22()2xxaxAexaaxBkxxaxCex()'()||2axxx由于这里内外解和在处是连续的，tan2kak22kaa，令tan222022Va02()2,VEEk以上两式是和所满足的超越方程组，可用数值计算或图解法求解。结果如右图所示：20,VaE在右图中，数值给定，曲线（1）（2）的交点给出，的解，由此求出，tan222022Va20,(2).Va由图可见，对偶宇称态，无论的值多么小（1）方程组至少有一个根，即至少存在一偶宇称的束缚态（基态）在）。线，第一条线仍存条为束缚态，相应于第二（仍还会出现其第一激发态tan多激发态。继续增大，则将出现更20aV态，不仅会出现偶宇称的基，增大，使当22220aVV0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。2()~sin||2axkxx2、奇宇称态cot(/2)cotkka与上类似，由连续条件可得：与（2）式联立，可确定参数和，从而确定能量本征值。如右图。222022Va当对奇宇称态则不同，只222220/2/4Va2222200222VaVa即，或时称能级。才可能出现最低的奇宇V0→∞时，结果与无限深势阱的奇宇称态能量一致。三、一维半壁无限高方势阱00VE讨论束缚态，即()00xx21122d20(0)dExax220222d2()0)dVExax（02()VE令2Ek222''0xa211''0(0xa)k112212()sinkx+coskx0()xxxAAxaxBeBexa10,(0)(0)0x11()sinxAkx波函数的连续性。波函数的有限性。22()xxBe11()sinxAkx22()xxBe1212()()()()xaaaaa时kctgka22kaa，ctg222022Va2222202//4Va2222200288VaVa即，或时半壁无限深方势阱存在束缚定态。