第十三章-电磁感应-电磁场习题解答

第十三章电磁感应电磁场（Electromagneticinductor）计算题13-1.如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈，以匀速度υ沿垂直于导线的方向离开导线．设t=0时，线圈位于图示位置，求：(1)在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量；（2）在图示位置时矩形线圈中的电动势ε。Iabυl题13-1图解：(1)0dd2SItlrrBStbtarrlIvvd200ln2Ilbtat(2)依据法拉第电磁感应定律得00dd2()tlIbatabΦ13-2如题图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以dI/dt=2A/s的变化率均匀增长。导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。（70410Tm/A）题13-2图解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程y=-2x+0.2(SI)取瞬时针方向为线框的绕行方向，则在直角三角形线框所围平面上的磁通量为0000d202[]d2π0052005.(.).bbIyxIxxxx00015005ln005...IbIb＝2.59×10-8I(SI)三角形线框中的感应电动势为88dd2591051810Vdd..Itt即电动势的大小为85.1810V，方向为逆时针。13-3题图所示,载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速度υ平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压NMVV。题13-3图解：动生电动势dMeNMNυBl为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM,闭合回路总电动势0MeNNMMeNNMMN0dd2abMeNMNabIxxυBl0ln2Iabab负号表示MN的方向与x轴相反，所以0ln2MNMNIabUUab13-4求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴OO＇转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的方位角为，杆的角速度为，转向如题图(a)所示。BO’OLBO’OldlBυ(a)(b)题13-4图解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为lBυdd所以，222sin21dsindcos2sindBLllBlBLLLlBυ，的方向沿着杆指向上端。13-5如题图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB在包含导线的平面内，以恒定的速度υ沿与棒成角的方向移动。开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高。题13-5图解：如图建立坐标系，t时刻在坐标为x处取线元矢量元ilxdd，则xxIxxxxd2cos2sin2d21210lBυ式中，cos2tlax，cos1tax所以，coscoslnsin20tatlaI，A端的电势高。13-6如题图所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且ad∥AB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度υ无摩擦地匀速平动；0t时，ab边与cd边重合。设线框自感忽略不计。(1)如i=I0，求ab中的感应电动势．ab两点哪点电势高？(2)如tIicos0，求ab边运动到图示位置时线框中的总感应电动势。解：ab直线上的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处，则x处的磁感应强度为习题13-6图02iBx，（式中i=I0）在坐标为x处取线元矢量元ilxdd，则ab中的感应电动势为il1l0l2abcdABυ0100000ln2d2d10021lllIxxIlllxxlBυ由于ab中的感应电动势的实际方向为ba，因此有abVV。(2)当tIicos0时，以abcda作为回路正方向，则：SSxBldd2SB01002d2lllilxx上式中2lt，于是01002dd(d)dd2lllilxttx00010lnsincos2Illtttl13-7如题图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转，O1O2在离细杆a端L/5处，若已知地磁场在竖直方向的分量为B。求ab两端间的电势差baVV。abO1O2OB习题13-7图解：Ob间的动生电动势1和Oa间的动生电动势2分别为：5405401dd//LLlBllBυ225016)54(21BLLB，b点电势高于O点；50501dd//LLlBllBυ22501)51(21BLLB，a点电势高于O点。∴22211165050abUUBLBL221035015BLBL13-8长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动。棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场B中，B的方向垂直纸面向里，如题图所示。设t=0时，初角速度为0；忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求(1)当角速度为时金属棒内的动生电动势的大小；(2)棒的角速度随时间变化的表达式。（提示：利用转动定律）ROB习题13-8图解∶(1)对于金属棒OB，沿径向在半径为r处取rd，利用公式rBυd，得2dd200LBrBrrBLL（2）设安培力作用在金属棒OB上的力矩大小为M，则2021dBILrBIrMLRLBLRLBB4)2(214222根据转动定律得2d(1)d1(2)3JMtJmL则：tRmLBd43d22)43exp(220tRmLB，其中exp()xxe13-9一面积为S的单匝平面线圈，以恒定角速度在磁感强度kBtBsin0的均匀外磁场中转动，转轴与线圈共面且与B垂直（k为沿z轴的单位矢量）。设t=0时线圈的正法向与k同方向，求线圈中的感应电动势。解：t时刻线圈的正法向与B之间的夹角为t，则t时刻线圈中的磁通量为ttSBtBScossincos0t时刻线圈中的感应电动势为220d/d(sincos)tBStt0cos(2)BSt13-10如图所示，一半径为r2电荷线密度为的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2r1)，当大环以变角速度)(t绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流。其方向如何？tr1r2O习题13-10图解：大环中相当于有电流2)(rtI，该电流在O点处产生的磁感应强度大小)(21)2/(020trIB以逆时针方向为小环回路的正方向，则小环中的磁通量为20112()tr∴201d1d()d2dtrtt感应电流为201d()2drtiRRti的方向：当d()0dtt时，i为负值，即i为顺时针方向：当()0dtdt时，i为正值，即i为逆时针方向。13-11电荷Q均匀分布在半径为a、长为L(La)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度绕中心轴线旋转。一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上，如图所示。若圆筒转速按照)/1(00tt的规律(0和0t是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。2aazL习题13-11图解：筒以旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流2QL，它和通电流螺线管的nI等效．依据长螺线管轴心磁场公式，筒内均匀磁场磁感强度为：02QBL(方向沿筒的轴向)筒外磁场为零。穿过线圈的磁通量为：2202QaaBL在单匝线圈中产生感生电动势为ddt20d2d()QaLt00202LtQa感应电流i为20002QaiRRLt当0Q时，i的流向与圆筒转向一致；否则，i的流向与圆筒转向相反。13-12如题图（a）所示，有一弯成角的金属架COD放在磁场中，磁感强度B的方向垂直于金属架COD所在平面。一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度υ向右滑动，υ与MN垂直。设t=0时，x=0。求下列两情形，框架内的感应电动势i。(1)磁场分布均匀，且B不随时间改变；(1)非均匀的时变磁场tKxBcos。解：(1)如题图（a），因为xyxyBtg21tx所以，由法拉第电磁感应定律可得2d1d/d(tg)d2tBxt21tg2ddtg2/BxxtBt在导体MN内的方向由M向N。(2)对于非均匀时变磁场tKxBcos。如题图（b），取回路绕行的正向为O→N→M→O，则dddBSBΦ，tg2dtgdcostgdBKt20dcostgdxKt31costg3KxtddtΦ321sintgcostg3KxtKxt3321tgsincos3()Ktttt0，则方向与所设绕行正向一致；0，则方向与所设绕行正向相反。13-13如图所示，真空中一长直导线通有电流teItI0)((式中I0、为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a。矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速υ(方向平行长直导线)滑动。若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感电动势i并讨论i的方向。tIυatxyxoyd习题13-13图解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为的正方向．先求任意时刻t的t。如图在线框中y方向取一宽为dy的长方形面元，对该面元上的磁通进行积分即得t，SBd)(t0d2()()abaItxtyy0()()ln2abItxta根据法拉第电磁感应定律可得：0d()dd(ln)()d2ddtabIxxItbtt00e(1)ln2tabItav。（计算中利用了条件tx）。的方向：t1时，逆时针；t1时，顺时针。13-14在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为B的均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，aR，如题图（a）所示。已知磁感强度随时间的变化率为dB/dt，求长直导线中的感应电动势i，并说明其方向。（提示：选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)。利用在过轴线的长直导线上，感生电场E处处与之垂直的条件）题13-14图解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场强E在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如题图（b）所示，选取过轴线且平行给定的无限长直导线的一条无限长辅助直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的辅助长直导线上，因感生电场E处处与之垂直，所以该辅助长直导线上电动势为零。又在无限远处0E，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势。该回路的磁通量212RBΦ由电磁感应定律有：2d1dd2dBRttΦ的正方向如图所示．当