第二讲-久期与凸度

第二讲久期和凸度吴义能第一节久期1.久期的概念久期(也称持续期)用来衡量债券的到期时间。它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。久期是指收益率变化1％所引起的债券全价变化的百分比。即久期用来衡量债券价格对利率/收益率变化的敏感性。其实就是价格相对于收益率的一阶导数。（1）麦考利久期的估算法将久期表述为债券现金流的时间加权值之和与现金流的总现值的比率。其中i表示市场利率,t表示付息期数,M表示最大期数,Ct表示第t期的现金流,Ct/(1+i)t表示对第t期的现金流进行贴现.PB表示债券的价格.Pt表示第t期现金流的现值.MttMttPtPD1111总现值时间加权现值MttBMtttMtttMtttMtWPiCtiCiCtD1111)1()1()1(BtMtttMttttttPPPPiCiCW11)1()1(（公式2-3）（公式2-1）（公式2-2）•实际上Ct/(1+i)t表示对第t期的现金流进行贴现是不准确的,我认为应该除以Yi,即第i期的到期收益率.这样Ct/(1+i)t应表示为Ct/(1+Yi)t.•所以有:•（公式2-4）•由上述定义及公式知：•零息债券的久期就是债券的期限，它是天然具有免疫能力的。MttitMttitMyCyCtD11)1()1(例1：一种债券的的面值为100元,票息额为每年9元.市场利率为8%.债券的到期期限为6年.一年付一次息。计算该债券的久期。解i=8%,Ct=9,M=6.用excel计算如下：时间票息额折现因子折现值时间的加权值itCt1/(1+i)tCt/(1+i)tt*Ct/(1+i)t0.1190.925938.333338.333333333290.857347.7160515.43209877390.793837.1444921.43347051490.735036.6152726.4610747590.680586.1252530.62624387690.630175.6715334.0291598561000.6301763.017378.1017761∑104.623514.4171572DM=514.42/104.62=4.91687←(麦氏)久期（2）修正久期（D*）修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。公式：（公式2-5）这里i指利率。（3）美元久期（D**）D**=D*×PB（公式2-6）其中：PB指债券现行价格。△PB=-D*PB△i△PB≈DMPB△i这里：△PB指债券的价格变动，△i指预期利率的变动。这个公式告诉我们，债券价格的变动与预期利率的变动方向是反向的，而修正久期正好相当于一个放大因子。iDDM1)(*修正久期久期的意义•债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此风险也越大。在降息时，久期大的债券上升幅度较大；在升息时，久期大的债券下跌的幅度也较大。因此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。•这是重要的风险管理方法。在同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。07级王鑫说：利率上升风险是债券价格下降的风险，这时,修正久期小的债券下降就小所以修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强。王鑫例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年，求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生怎样的市场变化？解：PB=125,i=5%,DM=4.6年，△i=+0.004所以△PB≈DMPB△i=-4.6×125×0.004=-2.19美元。即债券的价格将要下降2.19美元。（4）现金流久期的计算调用方式：[Duration,ModDuration]=cfdur(Cashflow,Yeild)Yeild：theperiodicyield可以理解为贴现率。例3：Ninepaymentsof$2.50andafinalpaymentof$102.50withayieldof2.5%returnsadurationof8.97periodsandamodifieddurationof8.75periods.验算一下：cashflow=[2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,102.50][Durartion,ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025)Durartion=8.9709ModDuration=8.7521例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为0.025，问该项投资的久期是多少？解：cashflow=[20002000300040005000];[Durartion,ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025)Durartion=3.4533期限第1期第2期第3期第4期第5期金额/元20002000300040005000（5）根据债券收益率和息票率计算久期调用方式：[ModDuration,YearDuration,PerDuration]=bnddury(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FisrtCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)其中从Period到Face都是可选项。Face的默认票面值是100。Period是指每年付息的次数。注意Yield可以是向量。.输出参数：ModDuration指修正久期，半一付息YearDurationr指根据年为单位计算的麦考利久期PerDuration指以半年为单位的麦考利久期，为YearDuration的2倍。•例5：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为ACT/ACT。求上修正久期，年和半年麦考利久期。•解：Yield=[0.04,0.05,0.06];•CouponRate=0.055;•Settle='02-Aug-1999';•Maturity='15-Jun-2004';•Period=2;Basis=0;•[ModDuration,YearDuration,PerDuration]=bnddury(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis)•ModDuration=•4.2444•4.2097•4.1751PerDuration=8.65858.62998.6007YearDuration=4.32924.31494.3004特别注意，这里每组算出来的是三个久期而不是一个久期。也就是说，一个收益率和一个票息率对应一个久期。如果到期收益率是变动的。就不适用bnddury命令了。这时就必须用公式2-4计算。（6）根据债券价格计算久期调用方式：[ModDuration,YearDuration,PerDuration]=bnddurp(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FisrtCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)•Price:债券的净价,即不含利息的价格。Price可以是向量。•其它参数同bnddury.•例6：已知三种债券的价格分别为106元，100元，98元，票息率为5.5%，结算日为1999年8月22日，到期日为2004年6月15日，每年支付2次票息，应计天数法则为ACT/ACT，请分别计算上述三个久期。•Price=[106;100;98];CouponRate=0.055;•Settle='2-Aug-1999';Maturity='15-Jun-2004';•Period=2;Basis=0;•[ModDuration,YearDuration,PerDuration]=bnddurp(Price,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis)•ModDuration=•4.2400•4.1925•4.1759YearDuration=4.32754.30774.3007PerDuration=8.65498.61548.6014第二节凸度的Excel及matlab计算凸度实际上是债券价格对市场利率的二阶导数关系。可以这样理解：凸度=久期变化的百分比/收益率变化的百分比利用泰勒级数展开，可以得到222)(21*idiPdididPPBBB（公式2-7）222)(21*iPdiPdidididPPPBBBBB（公式2-8）BBBPdiPdC22（公式2-9）CB表示凸度。由于DdididPB所以有：2)(21*iCiDPPBBB（2-10）BBBPiCiDP*])(21*[2（公式2-11）TiiBBBBiCttiPdiPdPC)1()1()1(1*1222（公式2-12）例7：一种债券的的面值为100元，票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。计算市场利率为3%,5%,8%和10%情况下及市场利率增加0.5%，请用excel计算该债券的久期和凸度以及债券市场价格的估计变化。解：详细计算见《久期与凸度的计算.xls》这里给出结果汇总表：（1）凸度的EXCEL算法利率△i债券价格PB修正久期债券价格的变化凸度债券价格的变化iPBD*△PB=-D*PB△iCB公式2-110.030.005132.54.9-3.2462535-3.18830.050.005120.34.76-2.8631436-2.8090.080.005104.624.55-2.38010537-2.33170.10.00595.644.42-2.11364438-2.0682凸度的特性：①非含权债券的凸性都是正数，这对于持有人而言，当利率上升时，债券价格下跌幅度没有久期估计的那么大，而当市场利率上升时，价格上升的幅度大于久期的估计水平。②凸性会随着到期收益率的增加而降低。因为到期收益率增加，折现因子减小③当到期收益率与久期不变的情况下，票面利率越低债的凸性越小。（2）计算现金流凸度调用方式：Convexity=cfconv(CashFlow,Yield)例8：ninepaymentsof$2.50andafinalpaymentof$102.50withayieldof2.5%returnsaconvexityof90.45periods.（Matlab原例）解：Cashflow=[2.50,2.50,2.50,2.50,2.50,2.50,2.50,2.50,2.50,102.50];Convex=cfconv(Cashflow,0.025)Convex=90.4493例9：一种债券的的面值为100元，票息额连续9年为每年2.4元。第10年还本付息。求该现金流凸度。解：Cashflow=[2.40,2.40,2.40,2.40,2.40,2.40,2.40,2.40,2.40,102.40];Convex=cfconv(Cashflow,0.024)Convex=91.1452（3）根据债券收益率计算凸度调用方式：[YearConvexity,PerConvexity]=bndcony(Yield,CouponRate,Settle,Maturity,Period,Basis,EndMonthRule,IssueDate,FisrtCouponDate,LastCouponDate,StartDate,Face)输入参数同bndd