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第四章因式分解1因式分解【知识再现】1.整式乘法类型(1)单项式乘以单项式:3a·4ab=_____.(2)单项式乘以多项式:a(m+n)=______.(3)多项式乘以多项式:(a+b)(m+n)=____________.12a2bam+anam+an+bm+bn2.特殊的整式乘法公式(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=_________.(2)完全平方公式:(a±b)2=______________.a2-b2a2±2ab+b2【新知预习】阅读教材P92—93:探究、填写下表,观察两组等式之间的特点,它们的联系和区别:a(a+1)=_________(a+1)2=____________a2+a=____________a2+2a+1=___________a2+aa2+2a+1a(a+1)(a+1)2左边特点:运用整式_____,得出结果是_______右边特点:_______分解成了整式的_____总结结论:因式分解的概念:把一个___________化成几个_________的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.乘法多项式多项式乘积多项式整式概念提升:思考整式乘法和因式分解的关系?提示:因式分解与整式乘法是互逆过程.【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.(2019·武汉江岸区期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.x2+2x+1=x(x+2)+1DB.(x-1)(x+3)=x2+2x-3C.x2+4=(x+2)2D.-x2+y21411xyyx22＝（）（）2.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2),则a+b的值为_______.-3知识点一因式分解的概念(P92做一做拓展)【典例1】(2019·江阴市期中)下列各式中从左到右的变形,是因式分解的是()A.(a+2)(a-2)=a2-4B.x2+x-1=(x-1)(x+2)+1DC.a+ax+ay=a(x+y)D.a2b-ab2=ab(a-b)【学霸提醒】因式分解要注意以下几点(1)分解的对象必须是多项式.(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3)要分解到不能分解为止.【题组训练】1.(2019·济宁嘉祥一模)下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是()A.m(a+b+c)=ma+mb+mcB.x2+5x=x(x+5)BC.x2+5x+5=x(x+5)+5D.a2+1=a1aa（）★2.983-98能被100整除吗?能被99整除吗?能被98整除吗?解:983-98=98(982-1)=98×(98+1)(98-1)=98×99×97,故能被98,99整除,不能被100整除.★★3.若x2+x+m=(x+n)2,求m,n的值.世纪金榜导学号解:∵(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+x+m,∴2n=1,n2=m,解得:11mn42＝，＝．知识点二因式分解和整式乘法的关系(P93做一做拓展)【典例2】已知多项式ax2+bx+c分解因式的结果是(3x+1)(4x-3),则a+b+c=______.4【学霸提醒】因式分解与整式乘法的联系与区别(1)联系:因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形.(2)区别:整式乘法的左边是几个整式的乘积,右边为和的形式.因式分解的左边是多项式,右边是几个整式的积的形式.即:整式乘法:积化和,因式分解:和化积.【题组训练】1.(2019·东阿县期中)若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式,则mn的值为()A.1B.-1C.-6D.6C★2.已知2x2+4x-b的一个因式为x-1,求b值.解:设另一个因式为2x+m,根据题意得:2x2+4x-b=(x-1)(2x+m)=2x2+(m-2)x-m,∴m-2=4,-m=-b,解得:m=b=6,则b值为6.★★3.(2019·梁子湖区期中)仔细阅读下面例题,解答问题:世纪金榜导学号例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.解:设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,解得:n=-7,m=-21,∴另一个因式为(x-7),m的值为-21.n34,m3n,问题:仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及k的值.解:设另一个因式为(x+a),得2x2+3x-k=(2x-5)(x+a),则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a,解得:a=4,k=20.故另一个因式为(x+4),k的值为20.2a53,5ak.【一题多解】【典例】分解因式(x2+5x+3)(x2+5x-23)+k=(x2+5x-10)2后,求k的值.解:方法一:(等式左边展开)x4+5x3-23x2+5x3+25x2-115x+3x2+15x-69+k=x4+10x3+5x2-100x-69+k.右边展开:(x2+5x-10)2=x4+10x3+5x2-100x+100,所以-69+k=100,解得:k=169.方法二:k=(x2+5x-10)2-(x2+5x+3)(x2+5x-23)=(x2+5x)2-20(x2+5x)+100-(x2+5x)2+20(x2+5x)+69=169.【核心点拨】本题就是已知两个式子的和,与其中的一个加数,求另一个加数的问题.关键是正确进行多项式的乘法.【素养培优】如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),求3A-B的值.解:x2+Ax+B=(x-3)(x+5)=x2+2x-15,得A=2,B=-15.3A-B=3×2-(-15)=21.