初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总

初中数学相似三角形几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1.动点函数型----横竖型问题2.动点函数型----斜线型问题3.动点几何型----二次相似问题4.动点几何形----A-A问题知识点梳理1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．典型例题分析1、动点横竖型问题例1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数214yxbxc的图像经过点4,0A、0,2C．（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点2,0B是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似，试求点E的坐标．【答案：（1）∵cbxxy241过点40A（，）、02C（，）∴2,21cb∴211242yxx∵当2x时，0y∴点(2,0)B在该二次函数的图像上；（2）∵二次函数的对称轴为直线1x∴10D（，）∵点E在对称轴上，且对称轴平行y轴∴OCDCDE又6AB，25AC，5CD2OC，1OD易得OCDOAC∽∴OCDOAC，从而CDEOAC若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似．A．C．Oxy1．A．C．Oxy1DBEE则有以下两种情况：ⅰ）当ABDCACDE时，即6552DE，解得：35DE∴点E的坐标为)35,1(ⅱ）当ACDCABDE时，即5256DE，解得：3DE∴点E的坐标为)3,1(综上点E的坐标为)35,1(或)3,1(.】例2.如图，已知在ABC中，90A，32ABAC，经过这个三角形重心的直线DEBC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，过点P分别作PMBC，PFAB，PGAC，垂足分别为点M、F、G，设BMx，四边形AFPG的面积为y．（1）求PM的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF、MG，当PMF与PMG相似时，求BM的长．【答案：解：（1）过点A作AHBC，垂足为点H，交DE于点Q．∵90BAC，32ABAC，∴6BC．又∵AHBC，∴132BHCHBC，Q是ABC的重心．∴113QHAH．MPABCDEFG∵DEBC，PMBC，AHBC，∴1PMQH．（2）延长FP，交BC于点N．∵90BAC，ABAC，∴45B．于是，由FNAB，得45PNM．又由PMBC，得1MNPM，2PN．∴1BNBMMNx，2(1)2FBFNx．∴2232(1)(5)22AFABFBxx，22(1)2(1)22FPFNPNxx．∵PFAB，PGAC，90BAC，∴90BACPFAPGA．∴四边形AFPG是矩形．∴22(1)(5)22yFPAFxx，即所求函数解析式为215322yxx．定义域为15x．（3）∵四边形AFPG是矩形，∴)5(22xAFPG．由135FPMGPM，可知，当PMF与PMG相似时，有两种情况：PFMPGM或PFMPMG．（ⅰ）如果PFMPGM，那么PFPMPGPM．即得PFPG．∴22(1)(5)22xx．解得3x．即得3BM．（ⅱ）如果PFMPMG，那么PFPMPMPG．即得2PMPFPG．∴22(1)(5)122xx．解得132x，232x．即得32BM或32BM．∴当PMF与PMG相似时，BM的长等于32或3或32．】2、动点斜线型问题例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数213yxbxc的图像经过点1()1,A和点()2,2B，该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABOCBO；（3）如果点P在直线AB上，且POB与BCD相似，求点P的坐标．【答案：（1）解：由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为．对称轴为直线1x．（2）证明：由直线OA的表达式yx，得点C的坐标为11（，）．∵，，∴ABBC．又∵，，∴OAOC．∴ABOCBO．（3）解：由直线OB的表达式yx，得点D的坐标为(1,1)．由直线AB的表达式，得直线与x轴的交点E的坐标为40（，）．10AB10BC2OA2OCyxOAB11-1-1∵POB与BCD相似，ABOCBO∴BOPBDC或BOPBCD．（i）当BOPBDC时，由135BDC，得135BOP．∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．∴点P的坐标为40（，）．（ii）当BOPBCD时，由POBBCD∽，得．而，，，∴．又∵，∴．作PHx轴，垂足为点H，BFx轴，垂足为点F．∵PHBF，∴．而2BF，6EF，∴，．∴．∴点P的坐标为48(,)55．综上所述，点P的坐标为(4,0)或48(,)55．】3、动点几何型—二次相似问题例4.如图，在RtABC中，90ACB，CE是斜边AB上的中线，10AB，4tan3A，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线于点Q，设,EPxBQy．（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）联结PB，当PB平分CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值．22BO2BD10BC102BE【答案：（1）在RtABC中，90ACB，∵34tanACBCA，10AB∴8BC，6AC∵CE是斜边AB上的中线，∴521ABBECE∴ABCPCB，∵90ACBPQC∴BQCABC∽，∴54ABBCPCCQ，即5458xy∴445yx，定义域为5x．（2）过点B作BMPC，垂足为M．∵PB平分CPQ，PQBQ，垂足为Q．∴yBQBM∵52485353BCBM∴524454x∴11x（3）∵90ACBQ，AQBF∴BQFABC∽当BEF和QBF相似时，可得BEF和ABC也相似．分两种情况：1)当AFEB时，ABCEPQ（备用图）ABCE（备用图）ABCE在RtFBEE中，90FBE，5BE，yBF35∴534)454(35x，解得10x；2)当ABCFEB时，在RtFBE中，90FBE，5BE，yBF35∴543)454(35x，解得16125x；综合16125x或10．】4、动点几何型—A-A问题例5.如图，已知等边ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠ABC，使得点A恰好与边BC上的点D合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．（1）当:5:4AEAF时，求BD的长：（2）当EDBC时，求EB的值；（3）当以B、E、D为顶点的三角形与DEF相似时，求BE的长．EDBFCA【答案：（1）∵ABC是等边三角形，∴，.由题意可知AEFDEF≌，∴，，.∴.∵，∴.又∵，∴.∵，∴BDECFD∽.方法①∵BDECFD∽，∴.设，则由知，，，，.设，则.∴.60CBACABCAB60AEDFAEDEAFDFBDFEDFBDECCFDBDFEDFBDECCFDCEDF60CFDBDECBkAE54:5:AFAEkAF4kAEDE5kAFDF4kBE56kCF46xBDxCD6BCA备用图ABCDEF即整理，得解得，即.方法②∵BDECFD∽，∴（相似三角形的周长的比等于相似比）.∴.又，，∴.解得：.方法③过点E作，过点D作设，，依题意易得，，，.在RtBEM中，，在RtFDN中，，易证DEMFDN∽，.进而可得，整理，得………（1）在RtFDN中，依据勾股定理可得4x4BD6ABBEDE6ACFCDFBDCD64BDBCEMACDNkAE5xBDkAF4kAEDE5kAFDF4kBE56kCF46xCD6kx2018ABCDEFMN………（2）整理（2），并将（1）代入（2），可得.解得（不合题意，舍去）.即.（2）当时，如图..过点作，垂足为.，.在RtBED中，，在RtDEH中，，在RtEHF中，.∴.（3）分两种情况讨论：①当以、、为顶点的三角形与DEF相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.∴EFBC.∴，.易得AEF、DEF、DFC、DEB是四个边长相等的等边三角形.∴.②当以、、为顶点的三角形与DEF相似，顶点、、分别与、、对应时，可得.01272xx31x42x4BDBCED30609090BBEDEDFEHH30609090EDFDEH453075DEHDEFFEHBEDBDEDEFDEFBDE60BAEF60AEFDEFBEDBDEDFEDFEBDEABCDEFHDEH又，，∴.易得AEF、DEF、DFC、DEB四个边长相等的等边三角形.∴.综上所述，当以、、为顶点的三角形与DEF相似时，.】DFCBDEAFEDFEBED3BE课后练习练1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为3,0，与y轴交于点0,3C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；（2）联结AC、BC，求ACB的正切值；（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当PBD与CAB相似时，求点P坐标．【答案：（1）抛物线2yxbxc过点3,0B，0,3C∴9303bcc∴43bc∴243yxx∴顶点D的坐标为2,1（2）∵抛物线243yxx与x轴交于点A、B（A在B的左侧）∴1,0A又∵0,0O，0,3C，3,0B∴3BOCO∵90COB∴45,32OBCBC过点A作AHBC，垂足为H，∴90AHB∵2AB∴2AHBH∴22CHBCBH∴21tan222AHACBCH（3）∵抛物线243yxx的对称轴为直线2x点P是抛物线对称轴上一点，∴可设点P的坐标为2,n把对称轴直线2x与x轴的交点记为E，则点E的坐标为2,0∵2,1D，3,0B∴1,2DEBEBD∵90BED∴45EDBEBD∴45CBOBDE∴当PBD与CAB相似时，点P在点D的上方，并存在以下两种情况：1)BDBADPBC∴22132n∴2n∴2,2P2)BDBCDPBA∴23212n∴13n