2019高职高考数学复习-椭圆(1)

8.6椭圆（1）【复习目标】1.理解并掌握椭圆的定义,理解椭圆的第二定义.2.掌握椭圆的标准方程.3.能掌握a、b、c之间的关系,会由其中的两个求出第三个.4.能根据a、b、c的值写出椭圆的标准方程.5.会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题.【知识回顾】1.定义:平面内,与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.第二定义:平面内,与一个定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e(0e1)的点的轨迹叫做椭圆.定点F叫做椭圆的一个焦点,定直线l叫做与该焦点对应的准线(一个椭圆有两个焦点和两条准线).常数e叫椭圆的离心率.【说明】在第一定义中,要注意到两个定点距离之和(记作2a)大于|F1F2|(记为2c),否则轨迹不是椭圆.当2a=2c时,轨迹是线段F1F2;当2a2c时,轨迹不存在.在第二定义中要注意0e1,还要注意点F不在直线l上否则轨迹不存在;若已知椭圆的焦点和准线时,必须说明是否为对应焦点和准线,否则不符合第二定义中的条件.定义M为椭圆上的点|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)焦点位置x轴y轴图形标准方程焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)参数关系a2=b2+c2(ab0)22221(0)xyabab22221(0)yxabab2.椭圆的标准方程3.椭圆标准方程的再认识(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1.(2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2.(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值.(4)椭圆的标准方程中,焦点的位置由分母的大小来确定.(5)椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定,即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程.【例题精解】【例1】用椭圆的定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹;(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹;(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹.【解】(1)因为|MF1|+|MF2|=6,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2||F1F2|,故动点M的轨迹是椭圆.(2)因为|MF1|+|MF2|=4,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,故动点M的轨迹不是椭圆.(3)因为|MF1|+|MF2|=3,|F1F2|=4,即|MF1|+|MF2||F1F2|,故动点M的轨迹不是椭圆.【例2】指出下列椭圆中的焦点和焦距.(1)𝒙𝟐𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟏𝟔=1(2)𝒚𝟐𝟏𝟎𝟎+𝒙𝟐𝟔𝟒=1【解】(1)由已知得a2=25,b2=16,椭圆的焦点在x轴上,c2=25-16=9因此c=3,焦点坐标为F1(-3,0),F2(3,0),焦距2c=6(2)由已知得a2=100,b2=64,椭圆的焦点在y轴上,c2=100-64=36因此c=6,焦点坐标为F1(0,-6),F2(0,6),焦距2c=12【解】(1)由于焦点在x轴上,a=4,b=1，因此所求椭圆的方程为𝒙𝟐𝟏𝟔+y2=1(2)由于焦点在y轴上,设椭圆的方程为𝒚𝟐𝒂𝟐+𝒙𝟐𝒃𝟐=1(ab0)由题意得,b2=a2-c2=16-15=1，所以所求椭圆的方程为𝒚𝟐𝟏𝟔+x2=1(3)由焦点坐标知焦点在y轴上,设椭圆方程为𝒚𝟐𝒂𝟐+𝒙𝟐𝒃𝟐=1(ab0)c=3,a2=b2+c2=1+9=10,所求椭圆的方程为𝒚𝟐𝟏𝟎+x2=1(4)由于焦点在x轴上,设椭圆的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)由题意知2c=6,即c=3,a2-b2=9①将点P(2,𝟐𝟏𝟐)坐标代入所设方程得𝟒𝒂𝟐+𝟐𝟏𝟒𝒃𝟐=1②解①、②联立方程组得a2=16,b2=7所求椭圆的方程为𝒙𝟐𝟏𝟔+𝒚𝟐𝟕=1【例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在x轴;(2)a=4,c=𝟏𝟓,焦点在y轴;(3)b=1,焦点为F1(0,-3),F2(0,3);(4)焦点在x轴上,焦距为6,经过点P(2,𝟐𝟏𝟐).【点评】椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定,即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程.因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该运用待定系数法(其步骤是:先设方程、再求参数、最后写出方程),其关键是求a、b的值.【例4】已知,F1、F2是椭圆𝒙𝟐𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟗=1的两个焦点,过F2的直线与椭圆交于M、N两点,求△MNF1的周长.【解】△MNF1的周长看作四条线段|MF1|、|F1N|、|NF2|、|F2M|的和,即周长L=|MF1|+|F1N|+|NF2|+|F2M|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=4a=20【点评】利用椭圆定义解有关椭圆问题是最基本也是最重要的方法,这一点要加以重视.22251.56xyymmm【例】已知椭圆的焦点在轴上，求的取值范围222205-6056065-6023.5561.mmmmmmmmmm【解】由题意知，且解不等式组得：或【点评】椭圆的标准方程中，左边是两个分式的平方和，右边是；焦点的位置由分母的大小来确定【同步训练】1.F1、F2是定点，|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则点M的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.线段D.圆【答案】A【答案】D2.设定点F1(-3,0)、F2(3,0),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a0),则动点P的轨迹是()A.椭圆B.不存在C.线段D.以上都不对【答案】C3.椭圆𝒙𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟒=1的焦点坐标为()A.(-3,0)(3,0)B.(0,-3)(0,3)C.(-1,0)(1,0)D.(0,-1)(0,1)【答案】C4.椭圆𝒙𝟐𝟗+𝒚𝟐𝟓=1的焦距为()A.6B.2𝟏𝟒C.4D.14【答案】D5.已知椭圆𝒙𝟐𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟑𝟔=1上一点P到两个焦点的距离的和为()A.8B.9C.10D.12【答案】D6.椭圆𝒙𝟐𝟏𝟔𝟗+𝒚𝟐𝟏𝟒𝟒=1上一点P到一个焦点的距离为11,则P到另一个焦点的距离为()A.12B.13C.14D.15【答案】D222222227.84A.1B.116481664C.1D.148166416xxyxyxyxy长半轴为，短半轴为，焦点在轴上的椭圆的标准方程是【答案】D228.132A.16B.16C.16D.016xyykkkkkkk椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是【答案】D9.过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两点,则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长等于()A.2B.4C.8D.2𝟐【答案】A10.设椭圆𝒙𝟐𝟐𝟓+𝒚𝟐𝟏𝟔=1的焦点为F1、F2,P为椭圆上的任一点,且与F1、F2构成一个三角形,则△PF1F2的周长为()A.16B.18C.20D.不能确定122222222211.(13,0),(13,0)10b=(0,3),(0,3)13.416,11081361y259ABFxyyxPPxyFF二、填空题一动点到两定点的距离之和为，则它的轨迹方程为12.已知2，焦点F，则椭圆的标准方程为已知椭圆那么椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为14.椭圆上点到一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为15.已知椭圆的右焦点为，过作平行于轴的11ABFFAB直线交椭圆与、两点，设椭圆的左焦点为，则的周长是2212512xy221134yx8820【解】(1)由于焦点在y轴上,设椭圆的方程为𝒚𝟐𝒂𝟐+𝒙𝟐𝒃𝟐=1(ab0)由题意知2c=2𝟑,即c=𝟑,a2-b2=3①将点P(1,2)坐标代入所设方程得𝟒𝒂𝟐+𝟏𝒃𝟐=1②解①、②联立方程组得a2=6,b2=3.所求椭圆的方程为𝒚𝟐𝟔+𝒙𝟐𝟑=1(2)因为焦点在x轴上,设椭圆的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)将点(4,3)和(6,2)代入所设方程得𝟏𝟔𝒂𝟐+𝟗𝒃𝟐=1①𝟑𝟔𝒂𝟐+𝟒𝒃𝟐=1②解①、②联立方程组得a2=52,b2=13所求椭圆的方程为𝒙𝟐𝟓𝟐+𝒚𝟐𝟏𝟑=1三、解答题16.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,焦距等于2𝟑,且通过点(1,2);(2)过两点(4,3)和(6,2),且焦点在x轴上.【解】由已知得椭圆的焦点坐标为F(±𝟓,0),设所求椭圆的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=1(ab0)c=𝟓,即a2-b2=5①将点(3,-2)坐标代入所设方程得𝟗𝒂𝟐+𝟒𝒃𝟐=1②解①、②联立方程组得a2=15,b2=10所求椭圆的方程为𝒙𝟐𝟏𝟓+𝒚𝟐𝟏𝟎=117.求与椭圆𝒙𝟐𝟗+𝒚𝟐𝟒=1有相同焦点,并且经过点P(3,-2)的椭圆的标准方程.【解】∵圆心为(2,0),∴椭圆的一个焦点为(2,0),即焦点在x轴上,且c=2,a=4,∴b2=a2-c2=12,∴椭圆的标准方程为𝒙𝟐𝟏𝟔+𝒚𝟐𝟏𝟐=1.18.求以圆x2+y2-4x-8=0的圆心为右焦点,长轴长为8的椭圆的标准方程.