台州市初中数学图形的相似真题汇编附答案

台州市初中数学图形的相似真题汇编附答案一、选择题1．如图，边长为4的等边ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则ADE的面积是()A．3B．32C．334D．23【答案】A【解析】【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．【详解】等边ABC的边长为4，2ABC3S4434，点D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DE//BC，1DEBC2，1ADAB2，1AEAC2，即ADAEDE1ABACBC2，ADE∽ABC，相似比为12，故ADES：ABCS1：4，即ADEABC11SS43344，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．2．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx、2yx的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BEOEOFAF；设B为（a，1a），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，进而得到222ab，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BEOEOFAF，设点B为（a，1a），A为（b，2b），则OE=-a，EB=1a，OF=b，AF=2b，可代入比例式求得222ab，即222ab，根据勾股定理可得：OB=22221OEEBaa，OA=22224OFAFbb，∴tan∠OAB=2222222212244baOBabOAbbbb=222214()24bbbb=22∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（）A．2244xyB．2244xyC．2288xyD．2288xy【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD＝12AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACD，得出tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出GECECEFE，得出y＝2FE，求出y2＝24FE，得出24y＝FE2，再由勾股定理得出FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得出答案．【详解】解：如图所示：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，∴CD＝12AB＝AD＝4，∴∠A＝∠ACD，∵EF垂直平分CD，∴CE＝12CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°，∴tan∠ACD＝GECE＝tanA＝y，∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°，∴∠ACD＝∠FCE，∴△CEG∽△FEC，∴GECE＝CEFE，∴y＝2FE，∴y2＝24FE，∴24y＝FE2，∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，∴24y＝x2﹣4，∴24y+4＝x2，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．4．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4B．8C．16D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQOQ，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q作QFOA，垂足为F，OABC是正方形，6OAABBCOC，90ABCOABDAE，DQ是AB的中点，12BDAB，//BDOC，OCQBDQ∽，12BQBDOQOC，又//QFAB，OFQOAB∽，22213QFOFOQABOAOB，6AB，2643QF，2643OF，(4,4)Q，点Q在反比例函数的图象上，4416k，故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q的坐标是解决问题的关键．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A．ADDEDBBCB．BFEFBCABC．AEECFCDED．EFBFABBC【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.【详解】解：如图所示：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DEADADBCABDB，∴答案A错舍去；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，CFEFBCABBBFC∴答案B舍去∵∠ADE＝∠B，∠CFE＝∠B，∴∠ADE＝∠CFE，又∵∠AED＝∠C，∴△ADE～△EFC，∴AEDEECFC，C正确；又∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A，∠CFE＝∠B，∴△CEF∽△CAB，∴EFCEFCBFABACBCBC，∴答案D错舍去；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．6．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2B．3225C．435D．2525【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt△OFC中，CF=22=5OFOC，∴AK=OK=1225=55，∴OA=455，由△FOC∽△OBA，可得OFOCCFOBABOA，∴215455OBAB，∴OB=85，AB=45，∴A（85，45），∴k=3225．故选B．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3B．1：8C．1：9D．1：4【答案】C【解析】【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．8．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则AODO（）．A．13B．255C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90，∠FAB+∠BFA=90，∴∠DAO=∠BFA，∴∠DAO=∠AED∴△AOD∽△EAD∴12AOAEDOAD故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C．332D．33【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，在RtABC△中，90ACB，CDAB于点D，2CD，1BD，则AD的长是（）A．1.B．2C．2D．4【答案】D【解析】【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【详解】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴=ADCDCDBD，∵CD=2，BD=1，∴2=21AD，∴AD=4.故选D.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于证得△ACD∽△CBD.11．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1B．1.2C．2D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GHCHABBC、GHBHCDBC，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GHCHABBC，即2GHCHBC①，∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴GHBHCDBC，即3GHBHBC②，①+②，得：123GHGHCHBHBCBC，解得：61.25GH．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：DE=5．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BFOFCMAM DEOEDEAE，，即BFxCM2x   2255，，解得：52x5BF?xCM 22，．∴BF+CM=5．故选A．13．如图，在正方形ABCD中，3AB，点M在CD的边上，且1DM，AEM与ADM关于AM所在直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ABF，连接EF，则cosEFC的值是（）A．171365B．61365C．7152