数学建模结课作业

一、问题重述某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客户属于0类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果真会出现吗这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理给出你的建议。二、问题假设1.新投保人数与每年民用车增长量成正比。2.每年的事故数量不变。3.每个人的索赔次数服从泊松分布。4.^5.预计总收入与实际总收入之差不变。6.支出不变。7.注销人数为自然退保人数和死亡人数之和。8.每一类别保险的人没有索赔时补贴比例不变。9.注销时每人平均的偿还退回金额不变。10.下一年平均修理费不变。11.死亡司机人数以及注销人数和总投保人数无关，只因为政府实施安全带法规而发生改变三、符号说明》A本年度的人数iB实施新法规之后第i年的人数w各部分费用金额k医疗费下降系数iX^基本保险费用r死亡人数下降比例j第j类保险S总保费说明：其中，下标“总”表示总投保人数或总收入，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数或索赔费用，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费用，“修”表示修理费，“医”表示医疗费。…四、问题分析通过分析统计报表，我们可了解到此公司的客户结构，赔偿方式，以及各个保险类别的具体情况。从本年度客户结构，再结合表1，表2由此我们可推演出下一年度的客户类型及相应的数量：（1）下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数）。（2）下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数）。（3）下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数)。（4）下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数）。从而我们得到了下一年各类人数与前一年的关系，只需知道当前的人数关系即可推出下一年的具体数量。因此，不妨把它看做是一个简单的动力系统模型，我们只需逐步推演求解即可得到所需解。进而，问题的关键就转化为了确定每年各个保险的投保人数、注销人数、新投保人数、死亡人数等，其中许多数据我们可从今年的具体保单信息得出，而新投保的人数其实即为新增车主，一定与每年民用车的增加量成正比。@五、模型建立与求解首先，我们先来确定每年新增投保人数。有假设可知，新增投保人数与每年民用车增加量成正比，因此查阅相关资料，我们得到2004—2012我国民用车辆增加量，见表1：表1我国民用汽车拥有量统计表（2000～2009年）年份2004200520062007.20082009201020112012汽车总计（万辆）2693315936974358】509962807801935610578利用Matlab，我们可以得到2004～2012年民用汽车拥有量的二次拟合图像，见图1：图1我国民用汽车拥有量拟合曲线图（2004-2011）由本年新投保人数对二次拟合曲线方程系数按比例缩放，即求得每年总新投保人数的方程#（1）因此可得到接下来5年每年新增投保人数，详见表2：表2五年的新投保人数第一年第二年第三年第四年第五年446631514866、589325670008756915再由模型分析可得下一年各类客户量为：2211000死索死索死索续AAAAAAB（2）3300001死索死注索总续AAAAAAB（3）11112死注索续续AAAAB（4）333322223死注索续死注索续续AAAAAAAAB（5）\然后分析索赔人数，分析可得，每一次事故都是随机独立出现的，因此我们可以认定在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布。由泊松定理可知，某一个人发生事故并索赔k次的概率p为：)0(!)(ikiikekKp（6）所以，他至少索赔一次的概率为：(1)1(0)1iiiPKPKe（7）由此可得到索赔人数与总投保人数之间的关系为：)1(ieBB总索（8）由题目所给数据，带入数据计算可得到各类索赔人数与总投保人数的关系，见表3：表3索赔人数与总投保人数之间的关系类别函数第0类)14307.0eBB（总索第1类)14005.0eBB（总索第2类`)11057.0eBB（总索第3类)10834.0eBB（总索运用上述公式（1），（2），（3），（4），（5），（8），以及本年度此公司的统计报表运算得到数据，记录至下列表格中：表4实施安全带法规后第一年发放的保险单数类别/没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数00124381744663113603（1690048125176981901891417698192401177509；0129401177510350876912403213098769124?表5实施安全带法规后第一年的索赔款类别索赔人数死亡司机人数平均修理费（元）平均医疗费（元）平均赔偿费（元）减少20%减少40%0591426699110201221916、3195158406713989122398573938862118111》1375947658494294137016784208805651@4882321由表4，表5由于本年度0，1，2，3类总注销人数为384475324114138572824018264，所以每人偿还退回的金额为18238447510706。根据假设，总修理费不变，为1981百万元。附加保费等于总保费减去总收入，且保持不变。由本年度可知：614S附111SSS附总（9）1182SB注注（10）111SSS净总偿（11）10SS支支（12）101-rSS死死（）（13）{10jSBS修修索（14）10(1)jSBSk医医索（15）1111SSSS医死修索（16）11110SSSSS总偿支超索（17）由此，我们可以得到平均人数为：11201231262333[0.750.60.5()0.25()0.4()0.5]10BBBBBBBBBBBBBB注死注总总总总索索死注死索（23）1966.176BXww医索（24）在医疗费下降20%~40%的情况下，我们计算出基本保险费的金额为667、610。·（4）同以上方法相同，我们利用循环语句可计算出第二，三，四，五年度的预计统计报表，表格如下：表6第二年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0！0125386351486613603176873012517647790189141764779240118082701294011884223508798178·03213098805773表7第三年度发放保单数类别…没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数001256198589325136031845523125188169901891418816992401283084、0129401283084350893861503213098938615/表8第四年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0！012623816700081360319323891251958391018914:1958391240136203301294013620333509028044|03213099028044表9第五年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数!新投保人数注销人数总投保人数0012688047569151360320257191?252043644018914204364424014444590129401444459350913224803213099132248在医疗费下降20%的情况下，此四年的基本保险费依次为：670、672、671、674。在医疗费下降40%的情况下，此四年的基本保险费依次为：615、617、623、621。;用Matlb或得两者对比图如下图2：图2医疗费分别下降20%与40%对比图六、模型推广与评价建模过程中，我们假设了诸如平均修理费、每年事故量、每年注销人数的不变。然而在现实生活中，气候变化、灾难性事故等影响，以上这些量都是不可能不变的，甚至有比较大的区别。再加上经济市场的景气程度，保险公司口碑、内在行业竞争力等显示的影响，其客户量与注销人数更是无依据可循。再考虑每年的新增投保量，将其与新增民用车辆挂钩是十分有道理的，但其是否遵循多项式增长是值得探究的，特别当汽车保有量达到一定水品后，受环境限值，数量显然不可能再模型所拟合的函数如此巨大的增长。因此，本模型目前仅适用于题目所给的条件下，有一定误差行与局限性。但同时也给了我们一定的启发，例如对于每年投保人数，我们不仅可以考虑其与每年民用车数量的关系，还可以结合人口阻滞模型，考虑它与坏境的关系，使得模型更加完善。·参考文献[1]吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005[2]姜启源，数学模型，高等教育出版社，2011[3]张铮，MATLAB程序设计与实例应用，中国铁道出版社，2003[4]Mark，数学建模方法与分析，机械工业出版社，2010[5]魏宗舒，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2008附录1.每年保单详细情况】第一年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数001243817[446631136031690048125176981901891417698192、401177509012940117751035087691240321309?8769124第二年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数总投保人数0@012538635148661360317687301251764779018914·176477924011808270129401188422350879817803213098805773第三年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数新投保人数注销人数—总投保人数0012561985893251360318455231251881699.0189141881699240128308401294012830843&50893861503213098938615第四年度发放保单数类别没有索赔补贴比例（%）续保人数&新投保人数注销人数总投保人数001262381670008136031932389125195839101891419583912401362033012940:1362033350902804403213099028044第五年度发放保单数类别？没有索赔补贴比例（%）续保人数