平板介质光波导理论

第三章平板介质光波导理论引言3.1光波的电磁场理论3.2光在平板介质波导中的传输特性引言•从理论上说，平板介质光波导是一种最简单的光波导形式，可以运用电磁场的基本理论，将平板介质波导处理为边界条件，从而得到数学上简单、物理上容易理解的基本光波导的有关方程。一旦熟悉了这种介质光波导的一般方法，就不难从数学上深入认识圆形光波导（如光纤）和其它形状的光波导．•分析介质波导的一般方法是根据介质波导的边界条件求解麦克斯韦方程，得出有关光场传播模式的表示式；•传播模式可以分为偶阶的和奇阶的横电波（TE）和横磁波(TM)；•由传播模式的本征方程或特征方程得出与模有关的传播常数。然后求出传输模的截止条件、相位延迟等与波导有关的参数，•分析平板介质波导的实际意义在于，许多半导体光电子器件和集成光学是以平板介质波导作为工作基础的。如，异质结半导体激光器和发光二极管正是利用异质结所形成的光波导效应将光场限制在有源区内并使其在输出方向上传播。3.1光波的电磁场理论•一、基本的电磁场理论•麦克斯韦方程组tBEtDJHD0B(3,1－1a)(3.1-1b)(3.1-1c)(3.1-1d)•设介质是均匀且各向同性的，且假设在低场强下不足以产生非线性效应，并且不考虑在半导体介质中实际存在的色散效应，而认为和与光波的频率无关。EDHB(3.1-3a)(3.1-3b)EJ(3.1-4)在非铁磁性的半导体中，在可见与红外波段范围内，可以认为相对导磁率r=1。同时，电磁波在时间上是交变的，在交变电磁场下，可以认为电阻率为无穷大，因而可忽略传导电流密度J。基于上述简化的假设，麦克斯韦方程组可简化为tHtBE0tEtDJHr00E0H(3,1－5a)(3.1-5b)(3.1-5c)(3.1-5d)二、光学常数与电学常数之间的关系22002tEEr22002tHHr2222222zyx(3.1-8)(3.1-9)(3.1-10)E和H的方程可以分别分解为三个独立的标量波动方程22002tEExrx22002tEEyry22002tEEzrz(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)•最简单的情况是设光波的电矢量沿y方向偏振、沿z方向传播的平面电磁波，即有•E=Ey、Ex=Ez=0。•Ey在z方向以角频率=2发生周期变化，•因为只在z方向有空间变化，故有/x=/y=0•由式(3.1–13)可以得到以z和t作为函数的Ey：tj(z)E(z,t)Eyyexp(3.1-15)•将式(3.1–15)代入式(3.1–13)得到yryEzE200222002r令yyEzE222(3.1-16)(3.1-17)(3.1-18)•故波动方程(3.1–13)的解为tjzjBzjA(z,t)Eyexpexpexp(3.1-19)•如果只取正z方向传播的波，则其三角函数的行波表达式为ztA(z,t)Eycos(3.1-20)•将式(3.1–20)代入式(3.1–5b)可求出与Ey相垂直的磁场分量Hx为ztAtzHrzcos,0(3.1-21)•根据波传播的概念，式(3.1–20)和式(3.1–21)还可分别表示为ztAtzHrz2cos,0ztA(z,t)Ey2cos(3.1-22)(3.1-23)•式中为光波波长，2(t–z/)称为位相。•由于式(3.1–22)和式(3.1–23)中不出现坐标x与y，因此与z轴相垂直的某一平面内各点具有相同的位相。•等相位面为平面的光波称为平面光波。•将式(3.1–20)与式(3.1–22)比较，就可得出传播常数为2(3.1-24)3.2光在平板介质波导中的传输特性•一、平板介质波导的波分析方法1．光在对称三层介质板波导中传播在z=0处是半导体与空气的界面，x=0处是有源层的中线。设波导沿y方向是无穷的，故有/y=0。对于TE模，有Ez=0tHtBE0tEtDJHr0利用/y=0及(3,1－5a)(3.1-5b)可以得出：Hy=Ex=0因此，只有y方向电场存在利用分离变量法对波动方程(3.1–13)求解，便可得到平板介质波导的场模表示式为ztj(x)Ez,t)(xEyyexp,其中Ey(x)及模传播常数满足0220222yyEknxE(3.2–2)(3.2–l)0220222yyEknxE(3.2–2)该方程的解为xAxA(x)Eoeysincos式中Ae和Ao为常数22022kn表示为的物理意义：Ey在x方向的传播常数．将麦克斯韦方程组应用到厚度为、长为dl的一个界面面积元ds=dl内，就得到电场或磁场的边界条件：E1l=E2l(3.2–5)H1l=H2l(3.2–6)即电场和磁场的切向分量在界面上必须是连续的(3.2–3)(3.2–4)2．偶阶TE模式的本征值方程ztj(x)Ez,t)(xEyyexp,(3.2–l)xAxA(x)Eoeysincos(3.2–3)在xd/2的有源区内，偶阶TE模式为ztjx)(Az,t)(xEeyexpcos,(3.2–7)22022kn(3.2–4)由给出220222kn(3.2–8)ztjx)(Az,t)(xEeyexpcos,(3.2–7)将代入(3.2–9)tHtBE0(3,1－5a)应用到本情况中，即：波导沿y方向是无穷的，/y=0；对于TE模，有Ez=0；及Hy=Ex=0可得到将tHxExy0(3.2–9)ztjx)(Ajz,t)(xHexexpsin,0(3.2–10)为建立波导模式，光场在有源区外必须衰减．因此，波动方程在有源区外(xd/2)的指数解是实数而不是虚数，即0220222yyEknxE(3.2–2)故在有源区外的电场分量为220222020knknztjdx)d(Az,t)(xEeyexp2/exp2/cos,(3.2–11)tHxExy0(3.2–9)由ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos//,0(3.2–12)ztjdx)d(Az,t)(xEeyexp2/exp2/cos,(3.2–11)ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos//,0(3.2–12)式中为衰减系数，与传播常数有如下关系；202122kn(3.2–13)这种在垂直于结平面方向xd/2的区域内指数衰减的场称为消失场，更确切地称为倏(shu,极快地;疾速地)逝场(evanescent)。其特点是在界面上不产生相位的变化，场的指数衰减不是由介质吸收所引起的，而是由于在一定深度范围内进入限制层（折射率为n1）的入射光能量完全反射回有源层中引起的，这在古斯一亨森（Goos-Honche。）的实验中得到了证实，因此消失场是一种平行于界面运动的均匀界面波。在x=d/2处，利用可以得出偶阶TE模的本征值方程；ztjx)(Ajz,t)(xHexexpcos,0(3.2–10)ztjdx)d(Ajxxz,t)(xHexexp2/exp2/cos//,0(3.2–12)212202221202122tanknknd(3.2–15)本征值是不能用显函数表示的未知量为说明模式数目和截止条件等性质，将上式改写为22tan2ddd(3.2–16)将式(3.2–8)和式(3.2–13)相加消除，得到220222kn(3.2–8)202122kn(3.2–13)22202122222dddknn(3.2–17)22tan2ddd(3.2–16)22202122222dddknn(3.2–17)2,2,20212122dknnRdYdX令：则表示的是一个圆方程：222RYX(3.2–18)XXYtan(3.2–19)根据式(3.2–18)和式(3.2–19)作图，就可得到如图3.2-3所示的图。两个曲线的交点即为偶阶TE模的本征值方程(3.2–15)的解2,2,20212122dknnRdYdX222RYX(3.2–18)XXYtan(3.2–19)存在于波导中的模数是与圆半径R成正比的，随着有源层的折射率n2、厚度d和波数k0与的增加以及与有源层毗邻的限制层折射率n1的减少，存在于波导中的传输模式数增加由2222202122222YXdddknn(3.2–17)可以求出偶阶TE模截止的d值，即式(3.2–19)为零时所对应的d值XXYtan(3.2–19)0tanXXY...8,6,4,2,0,mmX2,2,20212122dknnRdYdX将Y=0、X=m、k0=2/0代入(3.2–17)，则偶阶TE模截止的d值为21212202nnmd(3.2–20)偶阶TE模截止的d值为21212202nnmd(3.2–20)可见，要想使半导体激光器工作在基横模，其有源层厚度应小于某一允许值．（通常d0.2m）。3．奇阶TE模式ztj(x)Ez,t)(xEyyexp,(3.2–l)xAxA(x)Eoeysincos(3.2–3)得到有源层内奇阶TE模的表示式由ztjx)(Az,t)(xEoyexpsin,(3.2–21)tHxExy0(3.2–9)由ztjx)(Ajz,t)(xHoxexpcos,0在有源层外：ztjdxdAxxz,t)(xEoyexp2exp2sin,ztjdxdAjz,t)(xHoxexp2exp2sin,0(3.2–23)(3.2–24)H1l=H2l(3.2–6)由Hx连续的边界条件可以得到奇阶TE模的本征值方程为XXYcot2tand或(3.2–25)(3.2–26)222RYX(3.2–18)XXYcot(3.2–26)结合式(3.2–18)和式(3.2–26)可以得到奇阶TE模本征方程的图解，如图3.2-4所示如果将偶阶和奇阶TE模的图解合并，X=d/2以弧度表示，则可以得到图3.2-5。由图可见，只有当R满足一定条件才能得到单横模，即要求：220212122dknnR为此，对半导体激光器有源层厚度要求限制在．(3.2–27)21212202nnd(3.2–28)不满足这一条件，就会出现多模21212204nnd当（即R2)，则至少出现4个TE模，图