最全总结之圆锥曲线定值问题

1圆锥曲线的定值问题类型一斜率四则运算为定值例1．（2019届江苏省泰州姜堰中学期中）已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；若，求直线AR的斜率的取值范围．2解析：椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，，，即有椭圆方程为；证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，，，则，即为定值；由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，3则R的坐标为，即有直线AR的斜率，可令，则，则，当时，，当且仅当时上式取得等号，同样当时，，时，，，则AR的斜率范围为跟踪训练一1．已知动点P是圆G：22632xy上的任意一点，点P与点6,0A的连线段的垂直平分线和GP相交于点Q．（I）求点Q的轨迹C方程；（II）过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E，F两点，直线EF与坐标轴不重合．M是轨迹C上的一点，若EFM的面积是4，试问直线EF，OM的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，否则，说明理由．解析：（I）由题意，QPQA，又∵42GQQPGP∴=42GQQAGA，∴点Q的轨迹是以G、A为焦点的椭圆，其中22a，6c4∴椭圆C的方程为22182xy．（II）设直线l的方程为1ykx，联立122{182ykxxy，得221418kx∴2121421?41EFkk设OM所在直线方程为2ykx，联立椭圆方程得222222222,4141kMkk或222222222,4141kMkk，点M到直线EF的距离12222122411kkkdk．11221281424141KFMkkSEFdkk∴2222221122121248416441kkkkkkkk，即22121216810kkkk，解得1214kk，∴直线EF，OM的斜率之积是定值142.（濮阳市2019届）已知椭圆C：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切．1求椭圆C的标准方程；2设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（1）由题意知，，解得5则椭圆的方程是（2）①当直线的斜率存在时，设直线联立，得所以假设轴上存在定点，使得为定值。所以要使为定值，则的值与无关，所以解得，此时为定值，定点为②当直线的斜率不存在时，，也成立所以，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3．如图，已知椭圆O：2214xy的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆于另一点M．(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．6解析：(1)由题知B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1．联立解得或(舍)，所以M．连接BF，则直线BF的方程为＋＝1，即x＋y－＝0，学@科网而BF＝a＝2，所以点M到直线BF的距离为d＝＝＝．故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝．(2)设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，则直线PM的方程为y＝－x－1，联立化简得x2＋x＝0，解得M，所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，所以k1·k2＝－·m＝－为定值．4．在平面直角坐标系中，动点（）到点的距离与到轴的距离之差为1．7（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过点作任意一条直线交曲线于，两点，试证明是一个定值．解析：（1）到定点的距离与到定直线的距离相等，∴的轨迹是一个开口向右的抛物线，且，∴的轨迹方程为．（2）设过的直线的方程为，联立方程组整理得，设直线与抛物线的交点为，，则有，，又，因此是一个定值为．类型二被直线截得的弦长是定值例1．已知椭圆C：22221(0)xyabab的一个焦点为3,0F，点2,0A在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C上不与A点重合的两点D，E关于原点O对称，直线AD，AE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被x轴截得的弦长是定值．解析：（Ⅰ）依题意，3c．点2,0A在椭圆C上．所以2a．所以2221bac．所以椭圆C的方程为2214xy．8离心率32cea．（Ⅱ）因为D，E两点关于原点对称，所以可设,Dmn，,Emn，2m所以2214mn．证明：设),(),,(0000yxQyxP则)22,0(),2(2y),0,2(0000xyMxxyAPA则的方程为：直线直线方程为：，则，以为直径的圆为即，014400222020yyxyxyx，则其中令，则012x，解得1x．所以以MN为直径的圆被x轴截得的弦长是定值为2跟踪训练二1．已知点31,2P在椭圆C：22221(0)xyabab上，1,0F是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆被直线32y截得的弦长是定值．解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为1,0F，且1c．9因为222233220422a，所以2a，223bac，所以椭圆C的方程为22143xy．（Ⅱ）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合．因为D，E两点关于原点对称，所以设,Dmn，,Emn，1m．设以MN为直径的圆与直线32y交于33,,,(0)22GtHtt两点，所以GMGN．直线PD：332121nyxm．当0x时，33212nym，所以3320,12nMm．直线PE：332121nyxm．当0x时，33212nym，所以3320,12nNm．所以32,1nGMtm，32,1nGNtm，因为GNGM,所以0)1(4940222mntGNGM因为13422nm所以230432tt10所以)23,23(23,23(HG），即3||GH得证以MN为直径的圆被直线32y截得的弦长是定值32．在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：（）能否出现的情况?说明理由．（）证明过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值．解析：（1）设与X轴交于)0,(),0,(21xBxA则2-,2121xxmxx011)1,()1,(2121xxxxBCAC所以不能出现的情况（2）过A,B,C三点的圆必定在线段AB的垂直平分线上，设圆心坐标为E（00,yx）则22210mxxx由|EA|=|EC|及两点间的距离公式得2020210210)1()()()(yxyyxx代入化简得：2121210xxy所以圆的方程为：2222)211()2()21()2(mymx令x=0得1y1，22y所以过，，三点的圆在轴上截得的弦长为定值3类型三面积为定值例1.（江西省重点中学盟校2019届）已知椭圆的离心率为，焦点分别为，点是椭圆上的点，面积的最大值是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．11解析：（Ⅰ）由解得得椭圆的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，此时四边形的面积为．当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程，点到直线的距离是由得因为点在曲线上，所以有整理得由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为由得,故四边形的面积是定值，其定值为．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，计算量较大，属于常考题型.跟踪训练三1．已知椭圆系方程nC：2222xynab(0ab，*nN)，12,FF是椭圆6C的焦点，63A，是椭圆6C上一点，且2120AFFF．12（1）求nC的离心率并求出1C的方程；（2）P为椭圆3C上任意一点，过P且与椭圆3C相切的直线l与椭圆6C交于M，N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：QMN的面积为定值，并求出这个定值．解析：（1）椭圆6C的方程为：62222byax6)3,6(,0212212cAFFAFFFAF又nyxCbabacbn2222222222221,216)3(6)6(66a6的方程为：椭圆且椭圆nC的离心率2222222nnne，椭圆12221yxC的方程为：（2）解法一：),(),,(0000yxQyxP则设当直线l斜率存在时，设l为：ykxm，则00ykxm，由223{2xyykxm联立得：222214260kxkmxm由0得22321mkQ到直线l的距离0022211kxymmdkk同理，由226{2xyykxm联立得：2222142120kxkmxm122421kmxxk，212221221mxxk13MN22121214kxxxx22222421214?2121kmmkkk222228126121kmkk2222121kmk12QMNSMNd22222121•2211kmmkk222221mk222232121kk62当直线l斜率不存在时，易知62QMNS，QMN的面积为定值62解法（二）：设00,Pxy，由（1）得3C为：2232xy，∴过P且与椭圆3C相切的直线l：0032xxyy．且220026xy点P关于原点对称点00,Qxy，点Q到直线l的距离设11,Mxy，22,Nxy由002226{212xxyyxy得22004824160xxxy22002640xxxy1202xxx，212064xxy，∴222000201424164xMNxyy∴QMN的面积为22001112224SdMNxy222000201424164xxyy（定值）当00y时，易知，综上：QMN的面积为定值62．2.（九师联盟2019届）已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线14与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解析：（1）设，由题知，所以.所以，即.代入中得，解得.所以抛物线的方程为.（2）由题意