一元二次函数

二次函数及其应用一、二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a1、抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。2、抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.3、已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。4、函数2422xxy具有性质（）Ａ．开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）Ｂ．开口方向向上，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0）Ｃ．开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（-1，0）Ｄ．开口方向向下，对称轴为1x，顶点坐标为（1，0）5、对于二次函数xxy822，下列结论正确的是（）Ａ．当2x时，y有最大值8Ｂ．当2x时，y有最大值8Ｃ．当2x时，y有最小值8Ｄ．当2x时，y有最小值8二、函数y=ax2+bx+c的图象和性质1、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=－3x2+8x－2；（2）y=－14x2+x－4三、二次函数的增减性1、如果二次函数452mxxy在区间)1,(上是减函数，在区间),1[上是增函数，则m（）Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．10Ｄ．-102、二次函数y=3x2－6x+5，当x1时，y随x的增大而；当x1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。3、已知函数y=4x2－mx+5，当x－2时,y随x的增大而增大；当x－2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为。四、函数的图象特征与a、b、c的关系1、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（）A.a0,b0,c0B.a0,b0,c=0C.a0,b0,c=0D.a0,b0,c02、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b+c0B．b-2aC．a-b+c0D．c03、当b0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）4、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4五、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为2、抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是()A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点3、如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为()A.6B.4C.3D.14、如果二次函数)3(2mmxxy有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Ａ．),6()2,(Ｂ．)6,2(Ｃ．)6,2[0Ｄ．}6,2{5、已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象有可能是()．6、二次函数y＝－2x2＋2kx－3的顶点在x轴上，则k＝__________.7、已知抛物线y＝x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。8、如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．六、函数解析式的求法（1）已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1、已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。2、已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。（2）已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。3、已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。（3）已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。4、二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。拓展提升1、已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．2．已知二次函数cbxxy2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）。（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。七、二次函数的应用1、在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这名男同学出手处A点的坐标为（0,2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6,5）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出多远？（精确到0.01米，提示：153.873）O3－1xy2、有一抛物线型的立交桥，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在平面直角坐标系里，如图所示，若在离跨度中点M5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，该铁柱应取多长？3、如图所示，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m，拱高是2m，当水面下降1m后，水面度是多少？实际问题与二次函数(求最值)1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2、一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE＝x，DF＝y．(1)用含y的代数式表示AE；(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．4、如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？八、二次函数与几何结合的综合问题1、如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5：4的点P的坐标。2、已知如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．