2019辽宁中考数学考前专题训练3.几何图形综合探究--非动态问题

几何图形综合探究——非动态问题1.（1）问题发现如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE，请填空：①∠ACE的度数为______；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为______；（2）拓展探究如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°、点D在边BC上，连接CE，请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由：（3）问题解决如图③，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB=AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度.第1题图解：（1）60°【解法提示】∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°,∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC,即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS）,∴∠ACE＝∠B＝60°;AC=CD+CE;【解法提示】由①得:△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE;（2）∠ACE＝45°，2AC＝CD＋CE；【解法提示】∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°,∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE,∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°,∵BC=CD+BD,∴BC=CD+CE,∵在等腰直角三角形ABC中，BC=2AC,∴2AC＝CD＋CE；（3）2214..【解法提示】如解图，过点A作AC的垂线，交CB的延长线于点F,∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD=2，CD=1,∴BD＝22，BC＝7，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°,∴A、B、C、D四点共圆,∴∠ADB＝∠ACB＝45°,∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：2AC＝BC＋CD，∴AC=2CDBC=217=2214.第1题解图2.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E为AB的中点，连接CE交AD于点G，点F在BC上，且AB＝2AC，∠CAD＝∠B，∠CEF＝∠BAC；(1)如图①，若∠BAC＝60°，则线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为_________；(2)如图②，若∠BAC＝90°，判断线段EG、EF、AC三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，若∠BAC＝120°，CG＝8，请直接写出EF的长．第2题图解：(1)AC＝EG＋EF；【解法提示】∵AB＝2AC，E为AB的中点，∴AC＝AE＝EB＝12AB，∵∠BAC＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝60°，AC＝CE，∵∠CEF＝∠BAC＝60°，∴∠BEF＝180°－∠CEF－∠AEC＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACG＝∠BEF＝60°.在△AGC和△BFE中，∠ACG＝∠BEFAC＝BE∠CAG＝∠B，∴△AGC≌△BFE，∴CG＝EF，∵CE＝EG＋CG，∴AC＝EG＋EF.(2)2AC＝EF＋GE;证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝EB，∵AB＝2AC，∴AE＝AC＝BE，∵∠CEF＝∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∴∠BEF＝180°－∠CEF－∠AEC＝180°－90°－45°＝45°，∴∠ACG＝∠BEF，在△ACG和△BEF中，∠ACG＝∠BEFAC＝BE∠CAG＝∠B，∴△ACG≌△BEF(ASA)，∴CG＝EF，∴CE＝CG＋GE＝EF＋GE，∵AC＝AE，∠CAB＝90°，∴CE＝2AC，∴2AC＝EF＋GE；(3)EF＝8.【解法提示】∵∠BAC＝120°，E为AB的中点，AB＝2AC，∴AC＝AE＝BE，∠AEC＝∠ACE＝30°，∵∠CEF＝∠BAC＝120°，∴∠BEF＝180°－∠CEF－∠AEC＝180°－120°－30°＝30°，∴∠ACE＝∠BEF，又∵AC＝BE，∠CAD＝∠B，∴△ACG≌△BEF(ASA)，∴EF＝CG＝8.3.【问题探究】如图①，在□ABCD中，点E是BC的中点，点G是射线CD上一动点（不与点C重合），连接AE，BG，交于点F，（1）若25EFAF，求CDCG的值;【类比延伸】（2）如图②，点E是BC边上的点（不与B、C重合），其他条件不变，若EFAF=m，ECBE=n，求CDCG的值；【应用迁移】（3）在□ABCD中，点E是BC边上的点（不与B、C重合），其他条件不变，若EFAF=1835，72CDDG，求ECBE的值．第3题图解：（1）如解图①，过点E作EH∥AB交BG于点H，∵EH∥AB，AB∥CD，∴，，2152BCBECGEHAFEFABEH∴AB=25EH，CG=2EH，∵AB=CD，∴54DCCGABCG；第3题解图①（2）如解图①，过点E作EH∥AB交BG于点H，∴mEHABmEFAFEHAB，，∵AB=CD，∴CD=mEH，∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，∴nnBEBCEHCG1，∴CG=EHnn1，∴mnnEHnnCDCG1mEH1；（3）①当点G在线段CD上时，如解图①，过点E作EH∥AB交BG于点H，∴,1835CGEHBCBEEHABEFAF，∴HE=AB3518，∵72CDDG，∴75CDCG，∴2518CGEH，∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，∴2518CGEHBCBE，∴718ECBE；②当点G在CD的延长线上，如解图②，过点E作EH∥AB交BG于点H，第3题解图②∴1835EHABEFAF，CGEHBCBE，∴HE=AB3518，∵72CDDG，∴79CDCG，∴CG=CD79，∴52CGHE，∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG，∴52CGEHBCBE，∴32ECBE．综上所述，ECBE的值为32或718．4.已知△ABC和△FDE是两个等腰三角形，AB＝AC，FD＝FE.点F与点A重合，点E在线段BC的延长线上，连接CD.(1)如图①，当∠BAC＝∠DFE＝60°时，求证：BE＝CD；(2)如图②，当∠BAC＝∠DFE＝90°时，判断线段BE、CD的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图③，当∠BAC＝∠DFE＝120°时，将△FDE沿线段AC向下平移，若AF＝FC，AB＝6，CD＝8，请直接写出线段BE的长．第4题图(1)证明：∵AB＝AC，FD＝FE，∠BAC＝∠DFE＝60°，∴△ABC与△FED是等边三角形，∵点F与点A重合，∴AE＝FD，AB＝FC，又∠BAC＝∠DFE＝60°，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DFE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CFD，在△ABE和△FCD中，AB＝FC∠BAE＝∠CFD，AE＝FD∴△ABE≌△FCD(SAS)，∴BE＝CD；(2)解：BE＝CD，BE⊥CD；理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵点F与点A重合，∴AE＝FD，AB＝FC，又∵∠BAC＝∠DFE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DFE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CFD，在△ABE和△FCD中，AB＝FC∠BAE＝∠CFD，AE＝FD∴△ABE≌△FCD(SAS)，∴BE＝CD，∠FCD＝∠ABE＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠FCD＝90°，即BE⊥CD；(3)解：BE＝8＋33.【解法提示】如解图，过点F作FG∥AB，交BC于点G，连接AG，∴∠GFC＝∠BAC，∠ABC＝∠FGC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠FGC＝∠ACB，∴FG＝FC，又∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠FGC＝180°－120°2＝30°，又∵∠BAC＝∠DFE，∴∠GFC＝∠DFE，∴∠GFC＋∠EFC＝∠DFE＋∠EFC，即∠GFE＝∠CFD，在△GFE和△CFD中，GF＝CF∠GFE＝∠CFD，FE＝DF∴△GFE≌△CFD(SAS)，∴GE＝CD＝8，∵AF＝FC，FG∥AB，∴BG＝GC，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵∠B＝30°，∴BG＝AB·cos30°＝6×32＝33，∴BE＝BG＋GE＝8＋33.第4题解图5.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，CD＝12BC，以CD为边作正方形CDEF，连接BE，AF.(1)如图①，若点D恰好在BC边上，线段BE与AF的数量关系是_________；(2)如图②，若点D在BC下方时，(1)中的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点B、E、F三点共线且点E在线段BF上时，请直接写出线段AF的长度．第5题图解：(1)BE＝2AF；【解法提示】∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC＝2AB，∵点D为BC的中点，∴CD＝12BC＝22AB＝22BE，∵四边形CDEF为正方形，∴CD＝AF＝22BE，即BE＝2AF.(2)成立，BE＝2AF.理由如下：如解图，连接CE，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴sin∠ABC＝CACB＝22，第5题解图在正方形CDEF中，∠FEC＝12∠FED＝45°，∠EFC＝90°，∴sin∠FEC＝CFCE＝22，∴CFCE＝CACB，又∵∠FCE＝∠ACB＝45°，∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE，∴BEAF＝CBCA＝2，∴BE＝2AF；(3)3－1.【解法提示】∵AB＝AC＝2，∴在Rt△ABC中，BC＝22＋22＝22，∴CD＝12BC＝2，∵四边形CDEF为正方形，∴CF＝CD＝2，∴在Rt△BCF中，BF＝BC2－CF2＝（22）2－（2）2＝6，∴BE＝BF－EF＝6－2，由(2)得BE＝2AF.∴AF＝BE2＝6－22＝3－1.6.如图，在△ABC中，过点C作AB的平行线m，取直线BC上一点P，连接AP，过点P作∠APE＝∠BAC，交直线m于点E，过点P作∠FPC＝∠BAC，交直线AC于点F.(1)如图①，当点F在线段CA的延长线上时，若AB＝AC，直接写出线段AC、CE、CF之间的数量关系；(2)如图②，当点F在线段AC上时，若AB＝AC，∠BAC＝90°，判断AC、CE、CF三条线段的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点F在线段AC的延长线上时，若∠BAC＝90°，AB＝AC，CP＝13BC＝1，直接写出CE的长．第6题图解：(1)AC＝CF－CE；【解法提示】∵∠APE＝∠BAC，∠FPC＝∠BAC，∴∠APE＝∠FPC，∴∠APC＋∠CPE＝∠APC＋∠APF，∴∠CPE＝∠APF，∵∠FPC＝∠BAC，∴∠FAB＝∠FPB，∴∠ABP＝∠PFA，∵AB∥m，∴∠ABP＝∠PCE，∴∠PFA＝∠PCE，∵AB＝AC，∴∠ABP＝∠ACP，∴∠PFA＝∠ACP，∴PF＝PC，在△FPA和△CPE中，∠PFA＝∠PCEPF＝PC∠FPA＝∠CPE，∴△FPA≌△CPE(ASA)，∴AF＝CE，∴AC＝CF－AF＝CF－CE；(2)AC＝CF＋CE；理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AB∥m，∴AC⊥EC，∴∠ACE＝90°，∴∠PCE＝90°＋∠ACB＝135°，∵∠FPC＝∠BAC，∴∠FPC＝90°，∴∠PFC＝90°－∠FCP＝45°，∴∠PFC＝∠PCF＝45°，∴PF＝PC，∠AFP＝180°－∠PFC＝135°＝∠PCE，∵∠APE＝∠BAC，∴∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠APE＝90°，∴∠FPA＝∠CPE，在△FPA和△CPE中，∠PFA＝∠PCEPF＝PC∠FPA＝∠CPE，∴△FPA≌△CPE(ASA)，∴AF＝CE，∴AC＝AF＋CF＝CE＋CF，即AC＝CF＋CE；(3)CE＝522.【解法提示】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠A