留数和留数定理

1§5-2留数和留数定理一、留数的定义和计算二、留数定理201010)()()(czzczzczfnnC0z)(zf设为的一个孤立奇点;内的Laurent级数:)(zfRzz00在nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域0z包含0z的任一条正向简单闭曲线C.一、留数的定义和计算，Rzz00312iczzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010CCnnzzzczzzcd)(d)(1010Czzfd)(积分0(高阶导数公式)i2的系数级数中负幂项101)(zzcLaurent0(柯西-古萨定理)4zzficCd)(211即]),(Res[0zzf的留数在0)(zzf定义记作].),(Res[0zzf级数中负域内的Laurent.))(101的系数幂项zzc为中心的圆环在即0)((zzf包含0z的任意一条简单闭曲线C的积分Czzfd)(的值i2后所得的数以)(0zfz为函数的一个孤立奇点,如果(Residue)则沿Rzzz000的某个去心邻域内，除.)(0的留数在zzf称为5注:留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.留数定理点的一条正向简单闭曲线,.]),(Res[2d)(1nkkCzzfizzfnzzz,,,21外处处解析,奇点)(zf在区域D内除有限个孤立函数C是D内包围诸奇那么6证明nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)(21zzfCd)(12111()d()d()d222nCCCfzzfzzfzziii]),(Res[]),(Res[]),(Res[21nzzfzzfzzf.]),(Res[1即可得nkkzzf两边同时除以则i21z2znzDC...如图，根据复合闭路定理1()d2Cfzzi7计算留数的一般公式由Laurent级数展开定理，定义留数的积分值是f(z)在环域内Laurent级数的负一次幂系数c-100zz10),(Reczzfs(1)若z0为函数f(z)的可去奇点，dzzfiC21成Laurent级数求.1c(2)如果0z为的本性奇点,)(zf)(zf展开则需将个)，则它在点z0的留数为零。(负幂项的项数为零8000Res[(),]lim()().zzfzzzzfz如果为的一级极点,那末0z)(zf•规则1(3)如果0z为的极点,则有如下计算规则)(zf若z0为f(z)的m（m=1，2，3，…）级极点,则有010011Re(),lim[()()](1)!mmmzzdsfzzzzfzmdz•规则2说明将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可看作规则2o当m=1时的特殊情形.9证明先证规则2o，由于z0为f(z)的m级极点，因此可设在0|z-z0|ρ内有用乘上式的两端得m10101000()()()()mmmmzzfzcczzczzczz)0(0zzLaurent级数在其收敛环域内逐项微分得1m0101()(1)!{()}mmdzzfzmczzdz含有的正幂的项令，规则2o成立。0zz-1010010()()()mmfzczzczzcczz0(z-z)m10•规则3如果,0)(,0)(,0)(000zQzQzP设,)()()(zQzPzf)(zP及)(zQ在0z都解析，那么0z为的一级极点,)(zf.)()(]),(Res[000zQzPzzf且有113典型例题例1求nzzezf)(在0z的留数.解阶极点，的是因为nzfz)(00,Resnzze所以.)!1(1nnznnnzzezzn110ddlim)!1(112例2计算积分C为正向圆周:.2z解211Res[(),1]lim(1)lim,112zzzzzezeefzzzz1211Res[(),1]lim(1)lim,112zzzzzezeefzzzz2()d1112zCzefzzzz函数有两个一级极点，，而这两个极点都在圆周内，所以2d,1zCzezz12d2()21.122zCzeeeziichz因此，131113Res[(),1],22Res[(),1]22zzzzzeefzzzeefzz我们也可以用规则来求留数：.14例3计算积分Czzz,d14C为正向圆周:.2z解被积函数14zz有四个一级极点i,1都在圆周2z的内部,所以Czzzd14]1),(Res[]1),(Res[2zfzfi]),(Res[]),(Res[izfizf由规则3,414)()(23zzzzQzPCzzzd14.0414141412i15例4计算积分,d)1(2zzzeCzC为正向圆周:.2z解20)1(lim]0),([Reszzezzfzz1)1(lim20zezz221)1()1(ddlim)!12(1]1),(Res[zzezzzfzz0z为一级极点,1z为二级极点,16zezzzddlim121)1(limzzezz,0zzzeCzd)1(2所以)01(2i]1),(Res[]0),(Res[2zfzfi.2i17说明:0z如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开Laurent级数求1c来计算留数.在实际计算中应灵活运用计算规则：181若z0为函数f(z)的可去奇点，(负幂项的项数为零个)，则它在点z0的留数为零。01Re(),sfzzc小结：留数的计算2若z0为f(z)的一级极点，则有)()(lim),(Re000zfzzzzfszz3若z0为f(z)的m级极点，则对任意整数有mn)]()[(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdnzzfsnnnzz4设f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在点z0都解析。若，Q(z0)=0且，则z0为f(z)的一级极点，且有)()(),(Re0'00zQzPzzfs0)(0zP0)(0'zQ