数字信号与图像处理1

信号的描述信号是消息的表现形式，通常体现为随若干变量而变化的某种物理量。例如，在日常生活中，声音，电视画面都是信号。在电子信息系统中，常用的电压、电流、电荷或磁通等电信号可以理解为是时间t或其他变量的函数；在气象观测中，由探空气球携带仪器测量得到的温度、气压等数据信号，可看成是随海拔高度h变化的函数；又如在图像处理系统中，描述平面黑白图像像素灰度变化情况的图像信号，可以表示为平面坐标位置(x,y)的函数，等等。在数学上，可以描述为一个或多个独立变量的函数。只有一个自变量，叫做一维信号；如果有两个自变量，称为二维信号（图像）。•数字信号与图像处理的内容：连续和离散时间信号与系统的时域分析，傅里叶变换，Z变换，小波变换，图像复原，图像增强，图像压缩等。•研究数字信号与图像处理的目的：采样，滤波（去伪取真），检测，估计，压缩，识别等。第1章信号与系统的基本概念1.1信号的分类1.2信号的基本运算1.4常用基本信号1.5系统的概念1.6系统的特性和分类1.7信号与系统的分析方法1.确定信号与随机信号任一由确定时间函数描述的信号，称为确定信号或规则信号。对于这种信号，给定某一时刻后，就能确定一个相应的信号值。如果信号是时间的随机函数，事先将无法预知它的变化规律，这种信号称为不确定信号或随机信号。1.1信号的分类图1.1-1噪声和干扰信号2.连续信号与离散信号一个信号，如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义，就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。这里“连续”一词是指在定义域内(除有限个间断点外)信号变量是连续可变的。至于信号的取值，在值域内可以是连续的，也可以是跳变的。图1.1-2(a)是正弦信号，其表达式为)sin()(1tAtf式中，A是常数。其自变量t在定义域(-∞,∞)内连续变化，信号在值域［-A,A］上连续取值。为了简便起见，若信号表达式中的定义域为(-∞,∞)时，则可省去不写。也就是说，凡没有标明时间区间时，均默认其定义域为(-∞，∞)。图1.1-2连续信号012－1－2A－Af1(t)to1tf2(t)oAtf3(t)t0(a)(b)(c)图1.1-2(b)是单位阶跃信号，通常记为ε(t)，其表达式为)0(0)0(1)()(2ttttf图1.1-2(c)表示一个延时的单边指数信号，其表达式为)0(0)0()()(30ttAetftt式中，A是常数，α0。信号变量t在定义域(-∞,∞)内连续变化，信号f3(t)在值域［0，A)上连续取值。注意，f3(t)在t=t0处有间断点。仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常记为f(k)，其中k称为序号。与序号m相应的序列值f(m)称为信号的第m个样值。序列f(k)的数学表示式可以写成闭式，也可以直接列出序列值或者写成序列值的集合。例如，图1.1-3(a)所示的正弦序列可表示为kAkf4sin)(1图1.1-3离散信号012345678－2－4－6－8A－Akf1(k)－1－310234－1－310234－10132f2(k)f3(k)kk56A……(a)(b)(c)随k的变化，序列值在值域［-A,A］上连续取值。对于图1.1-3(b)所示的序列则可表示为在工程应用中，常常把幅值可连续取值的连续信号称为模拟信号(如图1.1-2(a))；把幅值可连续取值的离散信号称为抽样信号(如图1.1-3(a))；而把幅值只能取某些规定数值的离散信号称为数字信号(如图1.1-3(c))。为方便起见，有时将信号f(t)或f(k)的自变量省略，简记为f(·)，表示信号变量允许取连续变量或者离散变量，即用f(·)统一表示连续信号和离散信号。3.周期信号与非周期信号一个连续信号f(t)，若对所有t均有f(t)=f(t+mT)m=0,±1,±2,…则称f(t)为连续周期信号，满足上式的最小T值称为f(t)的周期。一个离散序列f(k)，若对所有k均有f(k)=f(k+mN)m=0,±1,±2,…(1.1-7)就称f(k)为离散周期序列。满足式(1.1-7)的最小N值称为f(k)的周期。图1.1-4周期信号tf(t)A－A2T2TT－Tof(t)－2－40246k……4.能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在单位电阻上产生的瞬时功率为|f(t)|2，在一定的时间区间内会消耗一定的能量。把该能量对时间区间取平均，即得信号在此区间内的平均功率。现在将时间区间无限扩展，定义信号f(t)的能量E为2,2dttfE222)(limdttfP222)(1lim如果在无限大时间区间内信号的能量为有限值(此时平均功率P=0)，就称该信号为能量有限信号，简称能量信号。如果在无限大时间区间内，信号的平均功率为有限值(此时信号能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号离散序列f(k)的能量定义为kkfE2)(1.2信号的基本运算1.2.1相加和相乘两个信号相加，其和信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之和。两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号在该时刻的信号值之积。设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为)()()()()()(2121tftftPtftfts同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为)()()()()()(2121kfkfkPkfkfks图1.3-1连续信号的相加和相乘图1.3-2离散信号的相加和相乘f1(k)0123456－1－2－31f2(k)012345－1－2－31－1f1(k)＋f2(k)012345－1－2－31－12012345－1－2－31f1(k)·f2(k)kkkk1.3.2翻转、平移和展缩将信号f(t)(或f(k))的自变量t(或k)换成-t(或-k)，得到另一个信号f(-t)(或f(-k))，称这种变换为信号的翻转。它的几何意义是将自变量轴“倒置”，取其原信号自变量轴的负方向作为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯，自变量轴不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180°，即为f(-t)或f(-k)的波形，如图1.3-3所示。图1.3-3信号的翻转(a)f(t)的翻转；(b)f(k)的翻转02－2－41f(t)t02－21f(－t)t02－21t44f(－t)02－2－41f(k)k02－21f(－k)k02－21kf(－k)44(a)(b)图1.3-4信号的平移02－2f(t)t02f(t－2)t0－2t4f(t＋2)－403－3f(k)kf(k－2)f(k＋2)02－2k02－2k46－4－64(a)(b)图1.3-5连续信号的波形展缩02－1f(t)t1－2102－1f(2t)t1－2102－4t4－21)21(f(a)(b)(c)1.3.3信号的导数和积分连续时间信号f(t)的导数)()()()1(tfdtdtfty连续时间信号f(t)的积分tdxxftfty)()()()1(产生另一个连续时间信号，其任意时刻t的信号值为f(t)波形在(-∞,t)区间上所包含的净面积。图1.3-10信号的微分和积分(a)信号f(t)；(b)信号的微分；(c)信号的积分f(t)－1t12－212－1－20012－1－21－2－1123123450)()1(tf)()1(tf(a)(b)(c)tt1.3.4信号的差分和迭分1.差分运算按照连续时间信号的导数定义ttfdttdft)(lim)(0就离散序列而言，可用两个相邻序列值的差值代替Δf(t)，用相应离散时间之差代替Δt，并称这两个差值之比为离散序列的变化率。根据相邻离散时间选取方式的不同，离散序列变化率有如下两种表示形式：)1()1()()()1()()1()(kkkfkfkkfkkkfkfkkf考虑到上面两式中(k+1)-k=k-(k-1)=1，因此，相邻两个序列值的变化率也就是这两个序列值之差，故称该操作为差分运算(1)前向差分：)()1()(kfkfkf(2)后向差分：)1()()(kfkfkf图1.3-11信号的差分f(k)－2－110－323456k1.52.5211－2Δf(k)－210－323456k－11023456k0.51－231－1.5－273110.5－2－1.5－2(a)(b)(c)1f(k)如果对差分运算得到的离散信号继续进行差分操作，可以定义高阶差分运算。对于前向差分有同理，对于各阶后向差分可表示为2.迭分运算仿照连续时间信号积分运算的定义tdxxfty)()(在离散信号中，如果时间间隔Δτ=1，可定义离散积分的运算为knnfky)()(图1.3-12离散信号的迭分f(k)－2－11023456ky(k)－2－11023456k22－1－1－2…－213321－11(a)(b)11.3常用信号1阶跃信号图1.4-1单位阶跃信号ttt1Δ11t0(a)(b)(c)ooo(t)Δ(t)(t－t0)设图1.4-1(a)所示函数110)(ttttt00该函数在t0时为零，tΔ时为常数1。在区间(0，Δ)内直线上升，其斜率为1/Δ。随Δ减小，区间(0，Δ)变窄，在此范围内直线上升斜率变大。当Δ→0时，函数εΔ(t)在t=0处由零立即跃变到1，其斜率为无限大，定义此函数为连续时间单位阶跃信号，简称单位阶跃信号，用ε(t)表示，即)0(1)0(0)(lim)(0tttt单位阶跃信号时移t0后可表示为10)(0tt00tttt注意：信号ε(t)在t=0处和ε(t-t0)在t=t0处都是不连续的。单位阶跃序列离散时间单位阶跃序列定义为01)(k00kk图1.4-5单位阶跃序列01234－1－2(k)1…k2冲激信号01)()(tdtdtptt其他0当Δ→0时，矩形脉冲的宽度趋于零，幅度趋于无限大，而其面积仍等于1。我们将此信号定义为连续时间单位冲激信号，简称单位冲激信号或δ函数，用δ(t)表示，即)(lim)(0tpt图1.4-3单位冲激信号t212opΔ(t)to(t)(1)(a)(b)δ函数的另一种定义是：0)(1)(21tdtttt0021ttt定义表明δ函数除原点以外，处处为零，但其面积为1。)(0100)(tttdtxt单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为00kk图1.4-6单位脉冲序列0123－1－2－31k(t)01k阶跃信号（序列）与冲激信号（序列）的关系•由，得•同理，对于离散阶跃序列与冲激序列有：，)(0100)(tttdtxttdttd100kkk0000kkkkkk1因为只有当k=0时δ(k)的值为1，而当k≠0时δ(k)的值均为零，所以任一序列f(k)与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其幅值等于f(k)在k=0处的值，即)()0()()(kfkkf任意序列（信号）的表示)()()()(00kkfkkkf同理，f(k)与的乘积为：0kk同理，对于连续信号，也可以用与的卷积来表示：tf000dttttftftft所以任意序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和