2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷理科含解析

2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U，2，3，4，5}，集合{1A，3，4}，集合{2B，4}，则()UABð为()A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“MP”是假命题的充要条件是()A．xM，xPB．xP，xMC．1xM，1xP且2xM，2xPD．0xM，0xP3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是()A．34B．45C．56D．674．（5分）已知实数x，y满足20001xyxyy…„剟，设zxy，则z的最小值为()A．2B．1C．0D．25．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是()A．12B．13C．16D．1366．（5分）已知函数,(),xexefxlnxxe„，则函数()yfex的大致图象是()A．B．C．D．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．83B．3C．103D．68．（5分）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且||2||AKAF，则AFK的面积为()A．4B．8C．16D．329．（5分）已知在ABC中，D是AC边上的点，且ABAD，62BDAD，2BCAD，则sinC的值为()A．158B．154C．18D．1410．（5分）设为两个非零向量1e，2e的夹角，若对任意实数，12||1minee，则下列说法正确的是()A．若确定，则1||e唯一确定B．若确定，则2||e唯一确定C．若1||e确定，则唯一确定D．若2||e确定，则唯一确定11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体1111ABCDABCD的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是1ACB的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是()A．[62，62]B．[62，62]C．[2322，2322]D．[32，32]12．（5分）已知函数||()cosxfxex，下列说法中错误的是()A．()fx的最大值为2B．()fx在(10,10)内所有零点之和为0C．()fx的任何一个极大值都大于1D．()fx在(0,10)内所有极值点之和小于55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且2||(12zii为虚数单位），则z．14．（5分）已知过点(3，4)的双曲线的两条渐近线为20xy，则该双曲线的方程为．15．（5分）若当x时，函数()3cossinfxxx取得最小值，则cos．16．（5分）设二次函数2()fxaxbxc的导函数为()fx，若对任意xR，不等式()()fxfx…恒成立，则2222bac的最大值．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{}na中，25a，4622aa，数列{}nb中，13b，121(2)nnbbn…．（Ⅰ）分别求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）定义[]()xxx，[]x是x的整数部分，()x是x的小数部分，且0()1x„，记数列{}nð满足()1nnnacb，求数列{}nð的前n项和．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人1020304050607080数()x愿意整体搬迁人数()y817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程(ybxab保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：1221ˆniiiniixynxybxnx，ˆˆaybx，8116310iiixy，82120400iix．19．（12分）如图所示，三棱柱111ABCABC中，已知AB侧面11BBCC，1ABBC，12BB，160BCC．（1）求证：1BC平面ABC；（Ⅱ）E是棱1CC上的一点，若二面角1ABEB的正弦值为12，求CE的长．20．（12分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为22，(2,0)P是它的一个顶点，过点P作圆2222:Cxyr的切线PT，T为切点，且||2PT．（Ⅰ）求椭圆1C及圆2C的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线1l，2l，其中1l与椭圆的另一交点为D，2l与圆交于A，B两点，求ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数()(1)axfxelnx，其中aR．（Ⅰ）设()()axFxefx，讨论()Fx的单调性；（Ⅱ）若函数()()gxfxx在(0,)内存在零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆221xy上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：sin()324，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得ABP的面积3ABPS，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数()||(fxaxba，)bR．（Ⅰ）若2a，1b，求不等式()()4fxfx„的解集；（Ⅱ）若对任意满足01x剟的实数x，都有()1fx„成立，求证：||2a„．2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集{1U，2，3，4，5}，集合{1A，3，4}，集合{2B，4}，则()UABð为()A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】5J：集合【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．【解答】解：全集{1U，2，3，4，5}，集合{1A，3，4}，{2UAð，5}，{2B，4}，(){2UABð，4，5}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“MP”是假命题的充要条件是()A．xM，xPB．xP，xMC．1xM，1xP且2xM，2xPD．0xM，0xP【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】49：综合法；5J：集合；5L：简易逻辑【分析】非空集合M，P，则命题“MP”是假命题0xM，0xP．反之也成立．即可判断出关系．【解答】解：非空集合M，P，则命题“MP”是假命题0xM，0xP．反之也成立．非空集合M，P，则命题“MP”是假命题的充要条件是0xM，0xP．故选：D．【点评】本题考查了集合与元素之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是()A．34B．45C．56D．67【考点】EF：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出111111223344556s的值，从而计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出111111223344556s的值，由于11111512233445566s．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．（5分）已知实数x，y满足20001xyxyy…„剟，设zxy，则z的最小值为()A．2B．1C．0D．2【考点】7C：简单线性规划【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件20001xyxyy…„剟作出可行域如图，联立120yxy，解得(2,1)A，化目标函数zxy为yxz，由图可知，当直线yxz过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是()A．12B．13C．16D．136【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．列举出所有情况，让田忌获胜的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，田忌获胜的概率16p．故选：C．【点评】通过历史故事的重读，考查概率知识的运用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．6．（5分）已知函数,(),xexefxlnxxe„，则函数()yfex的大致图象是()A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】分析函数,(),xexefxlnxxe„的连续性和凸凹性，结合函数()yfex的图象与函数()fx的图象关于直线2ex对称；可得答案．【解答】解：函数,(),xexefxlnxxe„在xe处不连续，且在(，]e上为凹函数，在(,)e上为凸函数；函数()yfex的图象与函数()fx的图象关于直线2ex对称；故函数()yfex的图象在0x处不连续，且在(,0)上为凸函数，在[0，)上为凹函数；故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的凸凹性，函数的连续性，函数的图象，难度中档．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．83B．3C．103D．