2019合肥一模理科数学试题及答案

合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，41iz，则复数z的虚部为().A.2iB.2iC.2D.22.集合220Axxx，10Bxx，则AB=().A.1xxB.11xxC.2xxD.21xx3.执行右图所示的程序框图，则输出n的值为().A.63B.47C.23D.74.已知正项等差数列na的前n项和为nS(nN)，25760aaa，则11S的值为().A.11B.12C.20D.225.已知偶函数fx在0，上单调递增，则对实数ab，，“ab”是“fafb”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是().注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面外有两条直线a，b，它们在平面内的射影分别是直线m，n，则下列命题正确的是().A.若ab，则mnB.若mn，则abC.若//mn，则//abD.若m和n相交，则a和b相交或异面8.若61axx展开式的常数项为60，则a的值为().A.4B.4C.2D.29.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为().A.254210B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为().A.45B.1925C.2350D.4110011.设双曲线2222:1xyCab(00ab，)的左、右焦点分别为12FF，，过1F的直线分别交双曲线左右两支于点MN，，连结22MFNF，，若220MFNF，22MFNF，则双曲线C的离心率为().A.2B.3C.5D.612.已知函数22lnfxaxxx有两个不同的极值点12xx，，若不等式12fxfx恒成立，则实数的取值范围是().A.3，B.3，C.e，D.e，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设xy，满足约束条件001030xyxyxy，则2zxy的取值范围为.14.若非零向量ab，满足2aab，则abb.15.在锐角ABC中，2BC，sinsin2sinBCA，则中线AD长的取值范围是.16.在平面直角坐标系xOy中，点nA(122nnnn，)(*nN)，记21221nnnAAA的面积为nS，则1niiS.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数cos2sin26fxxx.(Ⅰ)求函数fx的最小正周期；(Ⅱ)若02，，13f，求cos2.18.(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，23BCBDDC，2ADABPDPB.(Ⅰ)若点E为PC的中点，求证：BE∥平面PAD；(Ⅱ)当平面PBD平面ABCD时，求二面角CPDB的余弦值.19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布2N，，其中近似地等于样本平均数x，2近似地等于样本方差2s，233.6s.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：33.65.8.若随机变量Z服从正态分布2N，，则0.6826PZ，220.9544PZ.20.(本小题满分12分)设椭圆2222:1xyCab(0ab)的离心率为22，圆22:2Oxy与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN，，试判断PMPN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数ln1xfxex(e为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数fx的单调区间；(Ⅱ)若gxfxax，aR，试求函数gx极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程BDPCEA在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为cossinxy(为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为=2cos.(Ⅰ)求1C、2C交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A的极坐标为34，，点B是曲线2C上的点，求AOB面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数1fxx.(Ⅰ)若22fxx，求实数x的取值范围；(Ⅱ)设gxfxfax(1a)，若gx的最小值为12，求a的值.合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.16，14.115.1332，16.222433nn三、解答题：17.(本小题满分12分)(Ⅰ)∵3131cos2sin2cos2sin2cos2sin222226fxxxxxxx，∴函数fx的最小正周期为T.…………………………5分(Ⅱ)由13f可得，1sin263.∵0,2，∴72666，.又∵110sin2632x，∴262，，∴22cos263，∴126cos2cos2cos2cossin2sin6666666.………………………12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD的中点为M，连结EM，BM.由已知得，BCD为等边三角形，BMCD.∵2ADAB，23BD，∴30ADBABD，题号123456789101112答案DCCDADDDCCBABDPCEMA∴90ADC，∴//BMAD.又∵BM平面PAD，AD平面PAD，∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点，M为CD的中点，∴EM∥PD.又∵EM平面PAD，PD平面PAD，∴EM∥平面PAD.∵EMBMM，∴平面BEM∥平面PAD.∵BE平面BEM，∴BE∥平面PAD.…………………………5分(Ⅱ)连结AC，交BD于点O，连结PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD，POBD.∵平面PBD平面ABCD，POBD，∴PO平面ABCD，1POAO，3CO.以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1).易知平面PBD的一个法向量为1100n，，.设平面PCD的法向量为2nxyz，，，则2nDC，2nDP，∴2200nDCnDP，∵330DC，，，031DP，，，∴33030xyyz.令3y，得13xz，，∴2133n，，，∴121212113cos1313nnnnnn，.设二面角CPDB的大小为，则13cos13.………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x；…………………………5分(Ⅱ)由题意得，39.250.8，，39.250.80.6826Pt，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.250.8，的人数约为100000.68266826(人)；…………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22知，2bcab，，∴椭圆C的方程可设为222212xybb.易求得20A，，∴点22，在椭圆上，∴222212bb，解得2263ab，∴椭圆C的方程为22163xy.…………………………5分(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x，由(Ⅰ)知，2222MN，，，，22220OMONOMON，，，，，∴OMON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，1122MxyNxy，，，，∴221mk，即2221mk.联立直线和椭圆的方程得2226xkxm，∴222124260kxkmxm，得222122212244122604212621kmkmkmxxkmxxk.∵1122OMxyONxy，，，，∴12121212OMONxxyyxxkxmkxm，22222121222264112121mkmkxxkmxxmkkmmkk2222222222222126421322663660212121kmkmmkkkmkkkk，∴OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN，，都有OMON.在RtOMN中，由OMP与NOP相似得，22OPPMPN为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)易知1x，且11xfxex.令11xhxex，则2101xhxex，∴函数11xhxex在1x，上单调递增，且000hf.可知，当10x，时，0hxfx，ln1xfxex单调递减；当