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2019年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．计算3+（﹣1）的结果是（）A．2B．﹣2C．3D．﹣32．从2019年起，长春市开始了城市轨道交通第三期建设，在建设规划中未来长春市城市轨道交通总长度将达到460000米，460000这个数字用科学记数法表示为（）A．4.6×104B．46×104C．4.6×105D．4.6×1063．下列立体图形中，主视图是矩形的是（）A．B．C．D．4．使不等式2x﹣4≥0成立的最小整数是（）A．﹣2B．0C．2D．35．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2B．x2﹣32＝（10﹣x）2C．x2+3＝（10﹣x）2D．x2+32＝（10﹣x）26．如图，直线l1∥l2．若∠1＝72°．∠3＝50°，则∠2的大小为（）A．50°B．52°C．58°D．62°7．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米．现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒．若∠BAC＝α，则此车的速度为（）A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．米/秒D．米/秒8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若∠C＝60°，AB＝2，则k的值为（）A．B．C．1D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．比较大小：2．（填“＞”、“＝”或“＜“）10．计算：6a6÷3a2＝．11．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若AC＝2，BC＝4，则AE的长为．13．如图，在平面直角坐标系中，点M、A、B、N依次在上轴上，点M、A的坐标分别是（1，0）、（2，0）．以点A为圆心，AM长为半径画弧，再以点B为圆心，BN长为半径画弧，两弧交于点C，测得∠MAC＝120°，∠CBN＝150°．则点N的横坐标是．14．如图，在平面直角坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点，则h的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简再求值：（+）÷，其中：x＝．16．（6分）如图，现有三张不透明的卡片，卡片的正面分别标有字母A、B、C，每张卡片除字母不同外，其余均相同，将三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记下字母后放回，重新洗匀，再从中随机抽取一张请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的字母相同的概率．17．（6分）小欢和小乐一起去超市购买同一种矿泉水和同一种面包，小欢买了3瓶矿泉水和3个面包共花21元钱；小乐买了4瓶矿泉水和5个面包共花32.5元钱．求此种矿泉水和面包的单价．18．（7分）图①、图②均是边长为1的小正方形组成的5X5的网格，每个小正方形的顶点称为格点线段AB的端点均在格点上．（1）在图①中作正方形ABCD，正方形ABCD的面积为（2）在图②中作Rt△ABM，使点M在格点上，且sin∠BAM＝19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E．已知⊙O的半径为6，∠CDB＝25°．（1）求∠E的度数，（2）求的长．（结果保留π）20．（7分）某校开展“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，八、九年级各有200名学生参加竞赛．为了解这两个年级参加竞赛学生的成绩情况，从中各随机抽取20名学生的成绩，数据如下：八年级9189778671519793729181928585958888906491九年级8493666976877782858890886788919668979988整理上面数据，得到如下统计表：成绩人数年级50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤1001137804286样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：统计量年级平均数中位数众数方差八年级83.858891127.03九年级83.9587.5m99.45根据以上信息，回答下列问题：（1）写出上表中众数m的值．（2）试估计八、九年级这次选拔成绩80分以上的人数和．（3）你认为哪个年级学生的竞赛成绩较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）21．（8分）某工地需要利用炸药实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到300米以外的安全区域，炸药导火线的长度y（厘米）与燃烧的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．（1）请写出点B的实际意义，（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）问操作人员跑步的速度必须超过多少，才能保证安全．22．（9分）已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝度；[探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC的大小．[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的长．23．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4．点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AD向终点D运动，过点P作PQ⊥AC交边AB于点Q，过点P向上作PN∥AC，且PN＝PQ，以PN、PQ为边作矩形PQMN．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PQ的长．（2）当点M落在边BC上时，求t的值．（3）当0＜t＜1时，求S与t之间的函数关系式．（4）如图2，若点O是AC的中点，作直线OM．当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的图象记为M1，函数y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的图象记为M2，其中a为常数，且a≠0，图象M1，M2，合起来得到的图象记为M．（1）求图象M1与x轴的交点坐标，（2）当图象M1的最低点到x轴距离为3时，求a的值．（3）当a＝1时，若点（m，）在图象M上，求m的值，（4）点P、Q的坐标分别为（﹣5，﹣1），（4，﹣1），连结PQ．直接写出线段PQ与图象M有两个交点时a的取值范围．2019年吉林省长春市汽开区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据有理数的加法计算解答即可．【解答】解：3+（﹣1）＝2，故选：A．【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将460000用科学记数法表示为：4.6×105．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．【解答】解：A．此几何体的主视图是等腰三角形；B．此几何体的主视图是矩形；C．此几何体的主视图是等腰梯形；D．此几何体的主视图是圆；故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．4．【分析】先求出不等式的解集，再找到最小整数解即可．【解答】解：2x﹣4≥0，2x≥4，x≥2，则使不等式2x﹣﹣4≥0成立的最小整数是2，故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，在对于不等式整数解，要先确定未知数的取值范围，再找到满足题意的整数解．5．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．6．【分析】利用平行线的性质，三角形的内角和定理解决问题即可．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠4＝72°，∵∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣72°＝58°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．【分析】由于观测点A处与高速公路距离（AC）为20米，则∠ACB＝90°，根据α角的正切函数值先表示BC的长，再根据速度＝路程÷时间得到汽车的速度即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，AC＝20米，∴BC＝AC•tan∠BAC＝20×tanα（米）．∵此车速度＝20×tanα÷4＝5tanα米/秒，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．8．【分析】先根据菱形的性质求出B点坐标，再把B点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵菱形OABC中，∠C＝60°，AB＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝OC＝，∴BD＝1，∴B（1，），∵顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×＝．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式，同时也考查了菱形的性质，求出点B的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．【分析】根据无理数的逐步逼近的方法，去判断＜＜，于是可知2＜＜3，即可判断正确答案．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3∴2＜故答案为＜．【点评】本题考查的是实数的大小比较，关键是要对无理数进行准确的近似判断，学会运用逐步逼近法是解题的重点．10．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：6a6÷3a2＝3a4．故答案为：3a4．【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．11．【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，根据等边三角形的性质解答．【解答】解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．12．【分析】根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，根据余角的性质得到∠CAE＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴tan∠CAE＝tanB，∴，∴＝，∴CE＝1，∴AE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三