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2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是．2．（4分）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若=3，则点B的坐标为．3．（4分）方程9x+3x﹣6=0的实数解为x=．4．（4分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={x|y=lgx}，则M∩N=．5．（4分）若展开式中含x2的项的系数为．6．（4分）若圆x2+y2+2x﹣4y=0被直线3x+y+a=0平分，则a的值为．7．（4分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=．8．（4分）数列{an}是等差数列，a2和a2014是方程5x2﹣6x+1=0的两根，则数列{an}的前2015项的和为．9．（4分）函数，的值域是．10．（4分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x）的最小值为．11．（4分）函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是．12．（4分）设α、β都是锐角，，请问cosβ是否可以求解，若能求解，求出答案，若不能求解简述理由．13．（4分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b=．14．（4分）如图，线段AB长度为2，点A，B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，BC=1，O为坐标原点，则的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a+1＞bB．2a＞2bC．a2＞b2D．lga＞lgb16．（5分）已知数列，则a1+a2+a3+…+a100=（）A．﹣48B．﹣50C．﹣52D．﹣4917．（5分）已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有（）A．0B．1C．2D．318．（5分）设函数f（x）=min{x2﹣1，x+1，﹣x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者．若f（a+2）＞f（a），则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．[﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）D．[﹣2，+∞）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB=1，BC=2，PD⊥平面ABCD，且PD=3，PB的中点E，求异面直线AE与PC所成角的大小．（用反三角表示）20．（14分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足，（1）求△ABC的面积；（2）求a的最小值．21．（14分）设三个数，2，成等差数列，其中（x，y）对应点的曲线方程是C．（1）求C的标准方程；（2）直线l1：x﹣y+m=0与曲线C相交于不同两点M，N，且满足∠MON为钝角，其中O为直角坐标原点，求出m的取值范围．22．（16分）已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．23．（18分）数列{an}的前n项和记为Sn若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的通项公式，判断{an}是否为“H数列”；（2）等差数列{an}，公差d≠0，a1=2d，求证：{an}是“H数列”；（3）设点（Sn，an+1）在直线（1﹣q）x+y=r上，其中a1=2t＞0，q≠0．若{an}是“H数列”，求q，r满足的条件．2016年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-14题每个空格填对得4分）1．（4分）复数i（1+i）（i是虚数单位）的虚部是1．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的乘法化简复数，得到复数的虚部即可．【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，所以复数的虚部为：1．故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，是基础题．2．（4分）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，14）．【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用．【分析】设出B的坐标，利用已知条件求解即可．【解答】解：设B（x，y），点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若=3，可得：（x+1，y﹣5）=（6，9），解得x=5，y=14．故答案为：（5，14）；【点评】本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．3．（4分）方程9x+3x﹣6=0的实数解为x=log32．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】因式分解（3x+3）（3x﹣2）=0，从而求得x=log32．【解答】解：∵9x+3x﹣6=0，∴（3x+3）（3x﹣2）=0，∴3x=2，∴x=log32，故答案为：log32．【点评】本题考查了因式分解的应用及指数运算与对数运算的应用．4．（4分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={x|y=lgx}，则M∩N=（0，3]．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即M=[﹣1，3]，由N中y=lgx，得到x＞0，即N=（0，+∞），则M∩N=（0，3]，故答案为：（0，3]．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．（4分）若展开式中含x2的项的系数为56．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数等于2求得r，则答案可求．【解答】解：由，令8﹣2r=2，得r=3，∴含x2的项的系数为．故答案为：56．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是对通项的记忆与应用，是基础题．6．（4分）若圆x2+y2+2x﹣4y=0被直线3x+y+a=0平分，则a的值为1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心（﹣1，2）．圆x2+y2+2x﹣4y=0被直线3x+y+a=0平分，可知直线经过圆的圆心，可得﹣3+2+a=0解得a=1；故答案为：1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．7．（4分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．8．（4分）数列{an}是等差数列，a2和a2014是方程5x2﹣6x+1=0的两根，则数列{an}的前2015项的和为1209．【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用韦达定理可知a2+a2014=，进而通过等差数列中“下标和相等两项和相等”及求和公式计算即得结论．【解答】解：∵a2和a2014是方程5x2﹣6x+1=0的两根，∴a2+a2014=，又∵数列{an}是等差数列，∴数列{an}的前2015项的和为=•=1209，故答案为：1209．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，利用等差数列中“下标和相等两项和相等”是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．9．（4分）函数，的值域是．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用丽景花园的正弦函数化简函数的解析式，利用x的范围求出相位的范围，然后求解函数的值域．【解答】解：函数=2sin（x+），，可得，当，即x=π时，函数取得最小值：﹣，当，即x=时，函数取得最大值：2．函数的值域：故答案为：；【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力．10．（4分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x）的最小值为﹣4．【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4M：构造法；57：三角函数的图像与性质．【分析】记函数g（x）=ax3+barcsinx，由函数的奇偶性和最值的关系可得．【解答】解：记函数g（x）=ax3+barcsinx，∵g（﹣x）=﹣ax3﹣barcsinx=﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数，设当x=x0时，函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x0）=ax03+barcsinx0+3=10，此时g（x）取最大值g（x0）=7，由奇函数的性质可得当x=﹣x0时，函数g（x）取最小值g（﹣x0）=﹣7，∴当x=﹣x0时，函数f（x）取最小值﹣7+3=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查三角函数的最值，涉及函数的奇偶性和最值，属中档题．11．（4分）函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是[，]．【考点】H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得正实数ω的取值范围．【解答】解：由函数在上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于，即≥，∴0＜ω≤2．由ω•+≥2kπ+，且ω•π+≤2kπ+，求得4k+≤ω≤2k+，k∈Z，则正实数ω的取值范围是[，]，故答案为：[，]．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．12．（4分）设α、β都是锐角，，请问cosβ是否可以求解，若能求解，求出答案，若不能求解简述理由不满足余弦函数的单调性．【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵α为锐角，α+β∈（0，π），α＜α+β，∵y=cosx在（0，π）上递减，∴cos（α+β）＜cosα，而已知cos（α+β）=＞cosα=，所以条件错误，故cosβ不可解，故答案为：不满足余弦函数的单调性．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．13．（4分）不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作