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2017年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．（4分）复数i（2+i）的虚部为．2．（4分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．3．（4分）已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x|≥0，x∈R}，则M∩P等于．4．（4分）抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．5．（4分）已知无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），且a2=1，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn=．6．（4分）已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x•y的最大值为．7．（5分）已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的表面积为．8．（5分）若（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项是常数项，则n=．9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．10．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．11．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知函数：①y=x2；②y=2sinx，③y=πx﹣1；④y=cos（x+）．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）12．（5分）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为，则线段AB的长度为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．（5分）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=tanxB．y=3xC．D．y=lg|x|14．（5分）设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|，且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=116．（5分）实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）四棱锥A1﹣B1BCC1的体积．18．（14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．19．（14分）已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．20．（16分）设（a，b为实常数）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，求数列{bn}的通项公式；（2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，并写出数列{an}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．2017年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．（4分）复数i（2+i）的虚部为2．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数i（2+i）=2i﹣1的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2．【考点】3T：函数的值；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．3．（4分）已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x|≥0，x∈R}，则M∩P等于[﹣1，1]．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】化简集合M、P，根据交集的定义写出M∩P即可．【解答】解：M={x||x﹣1|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，P={x|≥0，x∈R}={x|≤0，x∈R}={x|﹣2＜x≤1}，则M∩P={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．4．（4分）抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=1，即y+=1，解得：y=，即可求得M的纵坐标．【解答】解：抛物线y=x2焦点在y轴上，焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，设M（x，y），过M做准线的垂直，垂足为D，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=1，即y+=1，解得：y=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题．5．（4分）已知无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），且a2=1，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn=4．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出等比数列的公比，然后求出数列的和，求解数列的极限即可．【解答】解：无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），公比为：；a2=1，a1=2，记Sn==4（1﹣）．Sn=4（1﹣）=4．故答案为：4．【点评】本题考查数列的求和，数列极限的求法，考查计算能力．6．（4分）已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x•y的最大值为．【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】4O：定义法；5T：不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x，y∈R+，x+2y=1，即1，当且仅当x=2y=时取等号．那么：，可得：xy．∴x•y的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用，属于基础题．7．（5分）已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的表面积为75π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论．【解答】解：如图所示：在Rt△POB中，r=sin30°×10=5，∴该圆椎的侧面积S=π×5×10=50π．∴圆锥的表面积为50π+π•52=75π故答案为：75π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．8．（5分）若（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项是常数项，则n=12．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得第九项，再根据第9项是常数项，则求得n的值．【解答】解：∵（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项为•2n﹣8•x2n﹣24是常数项，∴2n﹣24=0，∴n=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．9．（5分）已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；44：数形结合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得结论．【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和最值，勾股定理的应用，属于基础题．10．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．11．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知函数：①y=x2；②y=2sinx，③y=πx﹣1；④y=cos（x+）．其中为一阶格点函数的序号为②③（注：把你认为正确论断的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】①y=x2有无数个格点；②∵y=2sinx的函数值为整数的只有0，2，﹣2，只有0对应的x为整数，③∵π不是整数，故y=πx﹣1只过一个格点（0，﹣1）；④函数y=cos（x+）的函数值取0.1．﹣1时对应的x均不是整数．【解答】解：①y=x2有无数个格点；②∵y=2sinx的函数值为整数的只有0，2，﹣2，只有0对应的x为整数，故只有一个，③∵π不是整数，