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2017年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B=．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是（结果用含有R的代数式表示）12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．aD．a2＞b214．（5分）设无穷等比数列{an}的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则“a1+q=1”是“Sn=1”成立（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．18．（14分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M的坐标．19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20．（16分）已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有an+12﹣1=4an（an+1），bn=2log2（1+an）﹣1．（1）求证：{1+an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，求c1+c2+…+c100；（3）设dn=，数列{dn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B={x|0≤x≤1}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|y2=x，y∈R}={x|x≥0}，B={y|y=sinx}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}，故答案为：{x|0≤x≤1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】根据α的取值范围求得cosα=，由同角三角函数关系得到tanα=，结合倍角公式进行解答．【解答】解：∵﹣＜a＜，sinα=，∴cosα=，∴tanα=，∴tan2α===，∴cot2α==．故答案是：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角的应用，属于基本知识的考查．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由x≥1，可得y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：∵x≥1，∴y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，故f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．故答案为：2x﹣1（x≥1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=31．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】36：整体思想；4B：试验法；5P：二项式定理．【分析】依题意，分别令x=0（可求得a0=1）与x=1，即可求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，∴当x=0时，a0=1；当x=1时，（1+1）5=a0+a1+a2+…+a5=32，∴a1+a2+…+a5=32﹣1=31．故答案为：31．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法的运用，属于中档题．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是（，+∞）．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的焦点坐标的位置，列出不等式组求解k，然后求解半焦距的取值范围即可．【解答】解：若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，可得，可得k＞2，半焦距c==．则半焦距的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，可得m=0，可得f（x）=x+1，可求单调递增区间．【解答】解：由题意：函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f（x）=x+1，根据幂函数的性质可知：函数f（x）的单点增区间为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查了幂函数的图象及性质的运用．属于基础题．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为1．【考点】4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】可先将2+log2（3x﹣2）化为对数，利用对数的性质，即可将问题转化为一元二次方程问题，求出方程的解，注意验证解得x的值．【解答】解：由题意可知：方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）化为：log2（9x﹣5）=log24（3x﹣2）即9x﹣5=4×3x﹣8解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1．【点评】本题考查的是对数方程问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想注意，解方程的思想．注意隐含条件的利用，值得同学们体会和反思．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．．【考点】J7：圆的切线方程．菁优网版权所有【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5B：直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=1，由过定点（1，﹣1）可作圆的2条切线可知点（1，﹣1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1∴k＞0或k＜﹣2，则实数k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．故答案为（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由已知可得A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，求解直角三角形得到BB1，再由棱锥体积公式求得三棱锥A1﹣ABC的体积．【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，∵A1B1=AB=1，∴，又BC=1，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查直角三角形的解法，是中档题．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，即可求出d∈{﹣2，﹣1，0，1