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2016年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分.1．（4分）若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁UM=．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）=．3．（4分）在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为．4．（4分）在，则函数y=tanx的值域为．5．（4分）若数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则数列的各项和为．6．（4分）若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．7．（4分）设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．8．（4分）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．9．（4分）若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．10．（4分）方程的解x=．11．（4分）设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．12．（4分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）13．（4分）若F是抛物线y2=4x的焦点，点Pi（i=1，2，3，…，10）在抛物线上，且，则=．14．（4分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．二、选择题（本大题20分）本大题共有4小题，每小题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中，每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．（5分）下列命题中的假命题是（）A．若a＜b＜0，则B．若，则0＜a＜1C．若a＞b＞0，则a4＞b4D．若a＜1，则16．（5分）若集合，则“x∈A”是“x∈B”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60°C．60°或120°D．30°或150°18．（5分）若函数，关于x的方程f2（x）﹣（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论：①存在这样的实数a，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数a，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数a，使得方程由6个不同的实数根．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题74分）本大题共有5小题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19．（12分）如图，椭圆+=1的左、右两个焦点分别为F1、F2，A为椭圆的右顶点，点P在椭圆上且∠PF1F2=arccos（1）计算|PF1|的值x（2）求△PF1A的面积．20．（14分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21．（14分）已知函数f（x）=2sin2x+sin2x﹣1．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0＜x0＜π，求tanx0的值．22．（16分）已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，且2an﹣Sn=1．（1）求证：数列{an}是等比数列，并求出通项公式；（2）对于任意ai、aj∈{a1，a2，…，an}（其中1≤i≤n，1≤j≤n，i、j均为正整数），若ai和aj的所有乘积ai•aj的和记为Tn，试求的值；（3）设，若数列{cn}的前n项和为Cn，是否存在这样的实数t，使得对于所有的n都有成立，若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．23．（18分）已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．2016年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分.1．（4分）若全集U=R，集合M={x|x（x﹣2）≤0}，N={1，2，3，4}，则N∩∁UM={3，4}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简M，求出其补集，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，∴∁UM={x|x＜0或x＞2}，又N={1，2，3，4}，∴N∩∁UM={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）=1（0≤x≤1）．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）=．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．【点评】考查函数定义域的概念，清楚f（x）+g（x）的定义域为f（x）和g（x）定义域的交集．3．（4分）在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为﹣560．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；5P：二项式定理．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可即可．【解答】解：在（2x﹣1）7的二项展开式中，第四项的系数为：=﹣560．故答案为：﹣560．【点评】本题考查二项式定理的应用，系数的求法，注意二项式系数与项的系数的区别．4．（4分）在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5．（4分）若数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），则数列的各项和为1．【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），变形为an+1+1=2（an+1），利用等比数列的通项公式可得：1+an，再利用等比数列的前n项和公式可得的前n项和．【解答】解：a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1），∴数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2．∴1+an=2n，∴=，∴数列的首项为，公比为．∴数列的各项和为：=1．故答案为：1．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）若函数f（x）=（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】由y=f（x）=（x≥0），求出f﹣1（x）=x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y=f（x）=（x≥0），则x=y3，x，y互换，得f﹣1（x）=x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质、反函数性质的合理运用．7．（4分）设O为坐标原点，若直线与曲线相交于A、B点，则扇形AOB的面积为．【考点】G8：扇形面积公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），y=时，∠AOB=π，即可求出扇形AOB的面积．【解答】解：由曲线，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）y=时，∠AOB=π，扇形AOB的面积为=．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，属于中档题．8．（4分）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】根据侧面积公式求出棱柱的高，根据底面边长求出底面积，代入体积公式得出体积．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S底==150．∴正六棱柱的体积V=S底h=450．故答案为：450．【点评】本题考查了正棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．9．（4分）若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．【考点】L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，求出两点间的球面距离，即可求出A、B两地的球面距离与地球半径的比值．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：R，所以A、B两地的球面距离与地球半径的比值为；故答案为：．【点评】本小题主要考查球面距离及相关计算、经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于基础题．10．（4分）方程的解x=log23．【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】化简可得4x﹣5=4（2x﹣2），从而可得（2x）2﹣4•2x+3=0，从而解得．【解答】解：∵，∴4x﹣5=4（2x﹣2），即（2x）2﹣4•2x+3=0，∴2x=1（舍去）或2x=3；∴x=log23，故答案为：log23．【点评】本题考查了对数运算及幂运算的应用，同时考查了指数式与对数式的互化．11．（4分）设P是双曲线上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1•d2=．【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，结合P在双曲线C上，即可求d1•d2的值．【解答】解：由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0设双曲线C上的点P