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2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁UA=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{an}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{an}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个B．1个C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4B．5C．7D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈Pk={x|ak﹣2＜x＜ak+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质Pk．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn﹣2λan}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质Pk；（3）设Hn是数列{Tn}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁UA={1，2}．【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁UA={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）若，则=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：，∴=．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【考点】4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．【点评】本题考查二项式系数的性质，熟练掌握二项展开式的通项是关键，是基础题．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2]．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】去绝对值求出不等式的解集即可．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3]．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式以及正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【考点】O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5R：矩阵和变换．【分析】根据二阶行列的展开式，求得z×2i﹣（1+i）=0，设z=a+bi，代入即可求得a和b的值，求得，即可判断在复平面内所对应的点所在的象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查二阶行列式的展开式的应用，考查复数的运算，考查转化思想，属于中档题．8．（5分）若数列{an}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】3A：极限思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得通项an，再由数列的极限的求法，即可得到所求极限．【解答】解：数列{an}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的极限的求法，注意运用数列的递推式，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】直接利用圆与直线的位置关系，建立一元二次方程根与系数的关系，进一步求出结果．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．【点评】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；5O：排列组合．【分析】根据题意，用间接法分析：先a1、a2、a3、a4计算所有的排列数，再用分步计数原理计算不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立的情况数，两者相减即可得答案．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得ai=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，避免分类讨论．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6]．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5A：平面向量及应用．【分析】以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设M（cosθ，sinθ），根据向量的坐标运算和向量的模可得|++|2=18﹣18sin（θ+），再根据三角函数的性质即可求出范围【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣s