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2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=．2．（4分）设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁UB=．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为．5．（4分）设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．（4分）若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．（5分）若点（8，4）在函数f（x）=1+logax图象上，则f（x）的反函数为．8．（5分）已知向量，，则在的方向上的投影为．9．（5分）已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．（5分）某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．（5分）设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．（5分）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80B．96C．108D．11015．（5分）设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．416．（5分）在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f（t）|的最大值为（）A．B．3C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．（14分）已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．（14分）设数列{xn}的前n项和为Sn，且4xn﹣Sn﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{xn}的通项公式；（2）若数列{yn}满足yn+1﹣yn=xn（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．（16分）设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2nx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．21．（18分）设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B=，设A+B中的所有元素之和为Sn，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）=2．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．【点评】本题考查了极限的求值运算，是一道基础题．2．（4分）设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁UB={﹣1，0，1}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁UB与A∩∁UB即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁UB={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩∁UB={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．3．（4分）不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查．4．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】QL：椭圆的参数方程．菁优网版权所有【专题】17：选作题；34：方程思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．【点评】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．5．（4分）设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的充要条件，是基础题．6．（4分）若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查行列式的计算，二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．7．（5分）若点（8，4）在函数f（x）=1+logax图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x﹣1．．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4O：定义法．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+logax图象过点（8，4），可得：4=1+loga8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．（5分）已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．9．（5分）已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．【点评】本题考查该圆锥的侧面积，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．11．（5分）设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式Tr+1=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，即可得出．【解答】解：Tr+1==（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（5分）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】12：应用题；32：分类讨论；4G：演绎法；5O：排列组合．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．【点评】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i