2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷(理科)一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)已知矩阵,,则A+B=.2.(4分)已知全集U=R,集合,则集合∁UA=.3.(4分)已知函数,则方程f﹣1(x)=4的解x=.4.(4分)某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布平方米.5.(4分)无穷等比数列{an}(n∈N*)的前n项的和是Sn,且,则首项a1的取值范围是.6.(4分)已知虚数z满足2z﹣=1+6i,则|z|=.7.(4分)执行如图所示的流程图,则输出的S的值为.8.(4分)学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人不在同一个食堂就餐的概率是.9.(4分)展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为.10.(4分)若数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,则数3a1﹣2,3a2﹣2,3a3﹣2,3a4﹣2,3a5﹣2的方差为.11.(4分)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在AB,BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若=+(λ,μ∈R),则λ+μ=.12.(4分)已知,当x∈[a,a+1]时不等式f(x+a)≥f(2a﹣x)恒成立,则实数a的最大值是.13.(4分)抛物线C的顶点为原点O,焦点F在x轴正半轴,过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A,B,若AB中点的横坐标为3,则抛物线C的方程为.14.(4分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x2,当x>0时,f(x+1)=f(x)+f(1),若直线y=kx与函数y=f(x)的图象恰有11个不同的公共点,则实数k的取值范围为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得5分,否则一律得零分.15.(5分)下列四个命题中,为真命题的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d则a﹣c>b﹣dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则<16.(5分)设、是两个单位向量,其夹角为θ,则“”是“|﹣|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.(5分)对于两个平面α,β和两条直线m,n,下列命题中真命题是()A.若m⊥α,m⊥n,则n∥αB.若m∥α,α⊥β,则m⊥βC.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n18.(5分)下列函数中,既是偶函数,又在(0,π)上递增的函数的个数是()①y=tan|x|②y=cos(﹣x)③④.A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题(本大题满分74分)本大题共5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(12分)如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充.已知金字塔的每一条棱和边都相等(1)求证:直线AC垂直于直线SD.(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?20.(14分)某农场规划将果树种在正方形的场地内.为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树.在如图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:(1)按此规律,n=5时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量an,及松树数量bn关于n的表达式.(2)定义:f(n+1)﹣f(n)(n∈N*)为f(n)增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由.21.(14分)如图,在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O,逆时针15分钟转一圈,从A处进入摩天轮的座舱,OA垂直于地面AM,在距离A处150米处设置了一个望远镜B.(1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后,在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜B中仔细观看.问望远镜B的仰角θ应调整为多少度?(精确到1度)(2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD,发现取景的视角α恰为45°,求绿化带BD的长度(精确到1米).22.(16分)如图,曲线Γ由两个椭圆T1:和椭圆T2:组成,当a,b,c成等比数列时,称曲线Γ为“猫眼曲线”.(1)若猫眼曲线Γ过点,且a,b,c的公比为,求猫眼曲线Γ的方程;(2)对于题(1)中的求猫眼曲线Γ,任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆T1所得弦的中点为M,交椭圆T2所得弦的中点为N,求证:为与k无关的定值;(3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线,且交椭圆T1于点A,B,N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A,B不重合),求△ABN面积的最大值.23.(18分)已知函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),对任意x∈D都有f(x+T)=T•f(x),则称函数f(x)为T倍周期函数(1)判断h(x)=x是否是T倍周期函数,并说明理由.(2)证明是T倍周期函数,且T的值是唯一的.(3)若f(n)(n∈N*)是2倍周期函数,f(1)=1,f(2)=﹣4,Sn表示f(n)的前n项和,Cn=,若Cn<loga(a+1)+10恒成立,求a的取值范围.2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)已知矩阵,,则A+B=.【考点】OC:几种特殊的矩阵变换.菁优网版权所有【专题】11:计算题;29:规律型;5R:矩阵和变换.【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可.【解答】解:矩阵,,∴=.故答案为:.【点评】本题考查矩阵的和的求法,是基础题.2.(4分)已知全集U=R,集合,则集合∁UA={x|x<﹣1或x≥2}.【考点】1F:补集及其运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5J:集合.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,根据全集U=R,求出A的补集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:(x+1)(x﹣2)≤0,且x﹣2≠0,解得:﹣1≤x<2,即A={x|﹣1≤x<2},∵全集U=R,∴∁UA={x|x<﹣1或x≥2},故答案为:{x|x<﹣1或x≥2}【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.3.(4分)已知函数,则方程f﹣1(x)=4的解x=1.【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知,欲求满足f﹣1(x)=4的x值,即求f(4)的值.【解答】解:由题意得,即求f(4)的值∵,,∴f(4)=log3(1+2)=1,∴f(4)=1.即所求的解x=1.故答案为1.【点评】本题主要考查了反函数的概念,互为反函数的两个函数的函数值和关系,属于基础题.4.(4分)某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要白布16π平方米.【考点】LG:球的体积和表面积.菁优网版权所有【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离.【分析】求出球的半径,可得球的表面积,即可得出结论.【解答】解:∵球的直径为4米,∴半径为2米,∴球的表面积为4π•22=16π平方米.故答案为:16π平方米.【点评】本题考查球的表面积,考查学生的计算能力,比较基础.5.(4分)无穷等比数列{an}(n∈N*)的前n项的和是Sn,且,则首项a1的取值范围是(0,)∪(,1).【考点】8J:数列的极限.菁优网版权所有【专题】11:计算题;3A:极限思想;48:分析法;54:等差数列与等比数列.【分析】根据所给的前n项和的极限的值,做出首项和公比之间的关系,根据公比的范围,得到首项的范围,解不等式即可.【解答】解:设无穷等比数列{an}的公比为q,|q|<1且q≠0,由,又无穷等比数列的求和公式Sn=,即q=1﹣2a1,即有|1﹣2a1|<1且|1﹣2a1|≠0,解得a1∈(0,)∪(,1).故答案为:(0,)∪(,1).【点评】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式,极限的运算法则及其不等式的解法问题,本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题.6.(4分)已知虚数z满足2z﹣=1+6i,则|z|=.【考点】A8:复数的模.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】设出复数,写出复数对应的共轭复数的式子,把设出的结果代入等式中,合并同类项,写成复数的标准形式,利用复数的相等的充要条件,写出a和b的值,得到结果.【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi,∵虚数z满足2z﹣=1+6i,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=1+6i,∴a+3bi=1+6i,∴a=1,3b=6,∴a=1,b=2,∴|z|=,故答案为:【点评】本题需要先对所给的复数式子整理,展开运算,得到a+bi的形式,主要依据复数相等的条件,本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中.7.(4分)执行如图所示的流程图,则输出的S的值为.【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有【专题】28:操作型;54:等差数列与等比数列;5K:算法和程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,其中S=+++…+=[(1)+(﹣)+(﹣)+…+()]=×(1)=,故答案为:【点评】本题考查的知识点是程序框图,裂项相消法求和,分析出循环的功能是解答的关键..8.(4分)学校有两个食堂,现有3名学生前往就餐,则三个人不在同一个食堂就餐的概率是.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有【专题】38:对应思想;49:综合法;5I:概率与统计.【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率,从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可.【解答】解:三名学生选择每一个食堂的概率均为,则他们同时选中A食堂的概率为:××=;他们同时选中B食堂的概率也为:××=;故们在同一个食堂用餐的概率P=+=,故三个人不在同一个食堂就餐的概率是:,故答案为:.【点评】本题考查了概率问题,作差即可,是一道基础题.9.(4分)展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为﹣56.【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;49:综合法;5P:二项式定理.【分析】由条件利用二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,求得展开式中x的系数.【解答】解:由于展开式的二项式系数之和为2n=256,n=8,故它的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,令=1求得r=3,可得展开式中x的系数为﹣=﹣56,故答案为:﹣56.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题10.(4分)若数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,则数3a1﹣2,3a2﹣2,3a3﹣2,3a4﹣2,3a5﹣2的方差为36.【考点】BC:极差、方差与标准差.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;5I:概率与统计.【分析】根据方差是标准差的平方,数据增加a,方差不变,数据扩大a,方差扩大a2倍,可得答案.【解答】解:数a1,a2,a3,a4,a5的标准差为2,则数a1,a2,a3,a4,a5的方差为4,∴数3a1﹣2,3a2﹣2,3a3﹣2,3a4﹣2,3a5﹣2的方差为4×32=36,故答案为:36【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差,熟练掌握方差与标准差之间的关系,及数据增加a,方差不变,数据扩大a,方差扩大a2倍,是解答的关键.11.(4分)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在AB,BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若=+(λ