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2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A=．2．（4分）若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．（4分）行列式的值是．4．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）=．5．（4分）若等比数列{an}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=．6．（4分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2=．7．（4分）如图所示的程序框图，输出的结果是．8．（4分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．（4分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．（4分）若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则=．12．（4分）已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k=．13．（4分）已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．（4分）已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．（5分）设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．（5分）在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572B．88575C．29523D．29526三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．（14分）已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．（14分）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．（18分）对于数列{an}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{an}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），则称数列{an}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比q∈（0，1），求证：{bn}是“趋稳数列”；（3）已知数列{an}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为Sk．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（Sk）=2P（ak），试计算：（n≥2，n∈N）．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A={2，4}．【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．（4分）若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[]．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．（4分）行列式的值是．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值；5R：矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦加法定理求解．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则和余弦加法定理的合理运用．4．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）=．【考点】4R：反函数；4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．（4分）若等比数列{an}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5=20．【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（4分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2=3：2．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．（4分）如图所示的程序框图，输出的结果是15．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=1满足条件a≤3，b=3，a=2满足条件a≤3，b=7，a=3满足条件a≤3，b=15，a=4不满足条件a≤3，退出循环，输出b的值为15．故答案为：15．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．8．（4分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】21：阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．9．（4分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】58：解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c=a①，2sinB=3sinC，∴2b=3c②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则=．【考点】6F：极限及其运算；DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．（4分）已知抛物线C：y2=4x的准线为l