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2017年上海市松江区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（4分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N．2．（4分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=．3．（4分）已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）．4．（4分）不等式x|x﹣1|＞0的解集为．5．（5分）已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为．6．（5分）里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．7．（5分）按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是．8．（5分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若=，则n=．9．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．10．（5分）设P（x，y）是曲线C：+=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=．11．（5分）已知函数f（x）=，若F（x）=f（x）﹣kx在其定义域内有3个零点，则实数k∈．12．（5分）已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（）A．B．C．D．15．（5分）若矩阵满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且=0，则这样的互不相等的矩阵共有（）A．2个B．6个C．8个D．10个16．（5分）解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（）A．（0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（﹣1，0）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．18．（14分）已知函数F（x）=，（a为实数）．（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．19．（14分）上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．20．（16分）已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．（1）求双曲线C的方程；（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA•kPB为定值；（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有•=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由．2017年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（4分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N{1}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}．故答案为：{1}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．（4分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=3﹣4i．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．（4分）已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3）2．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．【解答】解：函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，可得：1=a﹣1，解得：a=2．∴f（x）=2x﹣1那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1=3时，x的值．由2x﹣1=3，解得：x=2．∴f﹣1（3）=2．故答案为2．【点评】本题考查了反函数的求法．比较基础．（也可以利用反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域求解）．4．（4分）不等式x|x﹣1|＞0的解集为（0，1）∪（1，+∞）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵x|x﹣1|＞0，∴x＞0，|x﹣1|＞0，故x﹣1＞0或x﹣1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．5．（5分）已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=•的最小正周期为π．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；41：向量法；57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用．【分析】由平面向量的坐标运算可得f（x），再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期．【解答】解：∵=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），∴f（x）=•=sin2x+sinxcosx===．∴T=．故答案为：π．【点评】本题考查数量积的坐标运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是基础题．6．（5分）里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率．【解答】解：里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，基本事件总数n=，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=，∴2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是143．【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，k的值，当x=143时满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x＞115，执行循环体，x=71，k=2不满足条件x＞115，执行循环体，x=143，k=3满足条件x＞115，退出循环，输出x的值为143．故答案为：143．【点评】本题考查了算法框图，流程图的识别，条件框，循环结构等算法框图的应用，综合考查了复合函数的概念，很好的体现了转化的思想，属于基础题．8．（5分）设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若=，则n=11．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定理展开可得：（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，比较系数即可得出．【解答】解：∵（1+x）n=+x3+…=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，又=，∴=，∴=，n﹣2=9，则n=11．故答案为：11．【点评】本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．【解答】解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π【点评】本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．10．（5分）设P（x，y）是曲线C：+=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），则|PF1|+|PF2|的最大值=10．【考点】KE：曲线与方程．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10．【解答】解：曲线C可化为：=1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的平行四边形，根据图形的对称性可知|PF1|+|PF2|的最大值为10，当且仅当点P为（±5，0），（0