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2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．（1）求p的值及{an}的通项公式；（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3}．【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】令f﹣1（5）=a，则f（a）=5．解得答案．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数性质，原函数过（a，b）点，反函数过（b，a）点，是解答的关键．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞=，代值计算即可【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式即可得出，【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）5﹣r，今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：80【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，由此能求出其中恰好有1个二等品的概率．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3]．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为10．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由数列分析可得该等比数列的首项与公比，计算可得其前n项和Sn==（3n﹣1），解不等式3n﹣1＞18×2018，解可得n的值．【解答】解：根据题意，等比数列为{an}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和Sn==（3n﹣1），若Sn＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，注意分析该数列的首项与公比．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得l=9，由此能求出此圆锥的表面积．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥结构特征等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用三角函数的周期性，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，