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2016年上海市金山区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）=．2．（4分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4x﹣5＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁UN）=．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则=．4．（4分）若直线l1：6x+my﹣1=0与直线l2：2x﹣y+1=0平行，则m=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则c1﹣c2=．6．（4分）方程4x﹣6×2x+8=0的解是．7．（4分）函数y=secx⋅sinx的最小正周期T=．8．（4分）二项式展开式中x3系数的值是．9．（4分）以椭圆=1的中心为顶点，且以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为．10．（4分）在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为．（结果用数值表示）11．（4分）方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是．12．（4分）行列式（a、b、c、d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最小值为．13．（4分）已知点P、Q分别为函数f（x）=x2+1（x≥0）和图象上的点，则点P和Q两点距离的最小值为．14．（4分）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“直线l1、l2互相垂直”是“直线l1、l2的斜率之积等于﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）若m、n是任意实数，且m＞n，则（）A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0D．17．（5分）已知，是单位向量，，且向量满足=1，则||的取值范围是（）A．B．C．D．18．（5分）如图，AB为定圆O的直径，点P为半圆AB上的动点．过点P作AB的垂线，垂足为Q，过Q作OP的垂线，垂足为M．记弧AP的长为x，线段QM的长为y，则函数y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，cosA=，B=A+．试求b的大小及△ABC的面积S．20．（14分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求三棱锥B1﹣A1BC的体积．21．（14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．（16分）已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）．（1）当m=2时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明．（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求m的取值范围；（3）讨论f（x）零点的个数．23．（18分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且（n∈N*）．（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；（3）设，问是否存在正整数N，使得当任意正整数n＞N时恒有Cn＞2015成立？若存在，请求出正整数N的取值范围；若不存在，请说明理由．2016年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）=．【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．【分析】分子分母同时除以n，利用极限性质和运算法则求解．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质和运算法则的合理运用．2．（4分）已知全集U=R，集合M={x|x2﹣4x﹣5＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁UN）={x|﹣1＜x＜1}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；5J：集合．【分析】化简集合M，求出∁UN，再求M∩（∁UN）．【解答】解：全集U=R，集合M={x|x2﹣4x﹣5＜0}={x|（x+1）（x﹣5）＜0}={x|﹣1＜x＜5}，N={x|x≥1}，∴∁UN={x|x＜1}，∴M∩（∁UN）={x|﹣1＜x＜1}．故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则=．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题；29：规律型；33：函数思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法运算法则化简，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足===﹣1+2i．则||==．故答案为：；【点评】本题考查是的基本运算，复数的模的求法，考查计算能力．4．（4分）若直线l1：6x+my﹣1=0与直线l2：2x﹣y+1=0平行，则m=﹣3．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．【分析】根据直线l1：6x+my﹣1=0与直线l2：2x﹣y+1=0平行，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：若直线l1：6x+my﹣1=0与直线l2：2x﹣y+1=0平行，则=，解得：m=﹣3；故答案为：﹣3．【点评】本题考察了直线的位置关系，是一道基础题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则c1﹣c2=﹣1．【考点】O1：二阶矩阵．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由增广矩阵的定义先分别求出c1，c2，由此能求出c1﹣c2的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，解为，∴，∴c1﹣c2=7﹣8=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的定义及性质的合理运用．6．（4分）方程4x﹣6×2x+8=0的解是x=1或x=2．【考点】41：有理数指数幂及根式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】求解关于2x的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．【解答】解：由4x﹣6×2x+8=0，得（2x﹣2）（2x﹣4）=0，即2x=2或2x=4．∴x=1或x=2．故答案为：x=1或x=2．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题．7．（4分）函数y=secx⋅sinx的最小正周期T=π．【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用正切函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：函数y=secx⋅sinx=tanx的最小正周期T==π，故答案为：π．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正切函数的周期性，属于基础题．8．（4分）二项式展开式中x3系数的值是﹣6．【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】由已知二项式得到二项展开式的通项，整理后由x的指数等于3求得r值，则展开式中x3系数的值可求．【解答】解：二项式展开式的通项为：=．由6﹣3r=3，得r=1．∴展开式中x3系数的值是．故答案为：﹣6．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．9．（4分）以椭圆=1的中心为顶点，且以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为y2=12x．【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先求出椭圆=1的右焦点即位抛物线的焦点，再利用焦点的横坐标与系数2p的关系求出p；即可求出抛物线方程．【解答】解：因为椭圆=1的右焦点为（3，0），所以=3，2p=6且抛物线开口向右．所以抛物线方程为y2=12x．故答案为：y2=12x．【点评】本题考查抛物线标准方程的求法．在求抛物线的标准方程时，一定要先判断出开口方向，再设方程．10．（4分）在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为55．（结果用数值表示）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在8名中选取5人，参加数学竞赛，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和3名女生，共8名学生，在8名中选取5人，参加数学竞赛，有C85=56种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为56﹣1=55种；故答案为：55．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是{，}．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；从而求解．【解答】解：cos2x+sinx=1可化为1﹣2sin2x+sinx=1；即sinx（1﹣2sinx）=0；∵x∈（0，π），∴sinx=；∴x=或；故答案为：{，}．【点评】本题考查了三角函数的化简与求值，属于基础题．12．（4分）行列式（a、b、c、d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最小值为﹣6．【考点】OM：二阶行列式的定义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开式法则求解．【解答】解：∵行列式=ad﹣bc，a、b、c、d∈{﹣1，1，2}，∴所有可能的值中，当a，d分别取﹣1，2，b和c取2时，行列式最小值为：=ad﹣bc=﹣2﹣4=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查二阶行列式的最小值的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式展开法则的合理运用．13．（4分）已知点P、Q分别为函数f（x）=x2+1（x≥0）和图象上的点，则点P和Q两点距离的最小值为．【考点】IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．【分析】由题意可知，函数f（x）=x2+1（x≥0）和互为反函数，则求出f（x）图象上的点到直线y=x的距离的最小值乘以2得答案．【解答】解：如图，函数f（x）=x2+1（x≥0）和互为反函数，其图象关于直线y=x对称，设f（x）=x2+1（x≥0）上一点P（x0，y0），由f′（x0）=2x0=1，得，∴P（），则P到直线y=x的距离为d=．∴点P和Q两点距离的最