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2019年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{2，4，5，6，8}，则A∩B＝．2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是．3．（4分）计算：＝．4．（4分）不等式|3x﹣2|＜1的解集为．5．（4分）若复数z＝（3+4i）（1﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝．6．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，则f﹣1（5）＝．7．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．8．（5分）在（x3）10二项展开式中，常数项的值是．（结果用数值表示）9．（5分）无穷等比数列{an}各项和S的值为2，公比q＜0，则首项a1的取值范围是．10．（5分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是．11．（5分）设函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，则使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是．12．（5分）已知平面向量、满足条件：＝0，||＝cosα，||＝sinα，α∈（0，），若向量＝（λ，μ∈R）．且（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则||的最小值为．二、选择题(本大题共4小题，满分20分，每小题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）已知方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣114．（5分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要15．（5分）欧拉公式eix＝cosx+isinx（i为虚数单位，x∈R，e为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2018i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程f（x+﹣2）＝a（a∈R）的实数根个数不可能（）A．5个B．6个C．7个D．8个三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，）（1）求行列式的值；（2）若函数f（x）＝cos（x+α）cosα+sin（x+α）sinα（x∈R），求函数f（﹣2x）+2f2（x）的最大值，并指出取得最大值时x的值．19．（14分）设函数f（x）＝2x﹣1的反函数为f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）若f﹣1（x）≤g（x），求x的取值范围D；（2）在（1）的条件下，设H（x）＝g（x）﹣f﹣1（x），当x∈D时，函数H（x）的图象与直线y＝a有公共点，求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆C以坐标原点为中心，焦点在y轴上，焦距为2，且经过点（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；（3）在（2）的条件下，当0＜a＜1时，设△QOA的面积为S1（O是坐标原点，Q是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为S2•若正数m满足S1≤mS2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．21．（18分）在等差数列{an}中，a1+a3+a5＝15，a6＝1l．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间（2m+1，22m+1）内的项的个数记为{bm}，记数列{bm}的前m项和Sm，求使得Sm＞2018的最小整数m；（3）若n∈N*，使不等式an+≤（2n+1）λ≤an+1+成立，求实数λ的取值范围．2019年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5，6，7}，B＝{2，4，5，6，8}，则A∩B＝{5，6}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：A∩B＝{5，6}．故答案为：{5，6}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是x＝﹣1．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题．【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．【解答】解：∵2p＝4，∴p＝2，开口向右，∴准线方程是x＝﹣1．故答案为x＝﹣1．【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．3．（4分）计算：＝．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法．【分析】对分子分母同除以n即可得出，然后求n趋于无穷大的极限即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】考查数列极限的求法．4．（4分）不等式|3x﹣2|＜1的解集为{x|＜x＜1}．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】将3x﹣2看成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利用不等式基本性质求解即可．【解答】解：∵|3x﹣2|＜1⇔﹣1＜3x﹣2＜1⇔1＜3x＜3，∴＜x＜1∴不等式|3x﹣2|＜1的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．【点评】本小题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．5．（4分）若复数z＝（3+4i）（1﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝5．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝7+i，∴|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．6．（4分）已知函数f（x）＝1+log2x，则f﹣1（5）＝16．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意令f（x）＝5，求出x的值即可．【解答】解：根据题意，令f（x）＝1+log2x＝5，得log2x＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了反函数的性质与应用问题，是基础题．7．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．【解答】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为＝；故答案为：．【点评】本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．8．（5分）在（x3）10二项展开式中，常数项的值是210．（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出（x3﹣）10展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）rC10rx30﹣5r，令30﹣5r＝0得r＝6，所以展开式中的常数项为C106＝210，故答案为：210．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）无穷等比数列{an}各项和S的值为2，公比q＜0，则首项a1的取值范围是（2，4）．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】由无穷等比数列{an}的各项和为4得，2，|q|＜1且q≠0，从而可得a1的范围．【解答】解：由题意可得，，﹣1＜q＜0a1＝2（1﹣q）∴2＜a1＜4故答案为：（2，4）【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，而无穷等比数列的各项和是指当，|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．10．（5分）在120°的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是2π．【考点】L*：球面距离及相关计算；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意及二面角的面与球相切的性质可以求得∠AOB＝60°，又半径已知，由弧长公式求出两切点在球面上的最短距离．【解答】解：由球的性质知，OA，OB分别垂直于二面角的两个面，又120°的二面角内，故∠AOB＝60°∵半径为10cm的球切两半平面于A，B两点∴两切点在球面上的最短距离是6×＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查球面距离及相关计算，解题的关键是根据二面角与球的位置关系得出过两切点的两个半径的夹角以及球面上两点距离的公式，考查空间想像能力，是中档题．11．（5分）设函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，则使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是（﹣）∪（2，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】49：综合法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，可得f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．由f（2x）＜f（3x﹣2），可得|2x|＜|3x﹣2|，解出即可得出．【解答】解：函数f（x）＝lg（1+|x|）﹣，∴f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．∵f（2x）＜f（3x﹣2），∴|2x|＜|3x﹣2|，∴（2x）2＜（3x﹣2）2，化为：（x﹣2）（5x﹣2）＞0，解得：x＞2，或x＜．∴使得f（2x）＜f（3x﹣2）成立的x的取值范围是∪（2，+∞）．故答案为：∪（2，+∞）．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知平面向量、满足条件：＝0，||＝cosα，||＝sinα，α∈（0，），若向量＝（λ，μ∈R）．且（2λ﹣1）2cos2α+（2μ﹣1）2sin2α＝，则||的最小值为．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设，由＝求出C点的轨迹方程，结合圆的性质可求【解答】解：由题意可设＝（cosα，0），＝（0，sinα），＝（x，y），且设∵＝＝（λcosα，μsin