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2016年上海市长宁区高考数学一模试卷（理科）一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）不等式|x﹣3|＜5的解集是．2．（4分）方程9x+3x﹣2=0的解是．3．（4分）若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|=．4．（4分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a14=20，则S19=．5．（4分）若，则sin2θ的值是．6．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是．7．（4分）（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）=．8．（4分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=．9．（4分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有种（以数字作答）．10．（4分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．11．（4分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．12．（4分）在△ABC中，点M满足++=，若++m=，则实数m的值为．13．（4分）设命题p：函数的值域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，如果命题p和q不全为真命题，则实数a的取值范围是．14．（4分）定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（0，π），则θ=．二.选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一从此正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知集合P={0，a}，Q={1，2}，若P∩Q≠∅，则a等于（）A．1B．2C．1或2D．316．（5分）（理）已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣8n，第k项满足4＜ak＜7，则k=（）A．6B．7C．8D．917．（5分）（文）设点是角α终边上一点，当最小时，cosα的值是（）A．B．C．D．18．（5分）已知函数（a＞0），有下列四个命题：①f（x）的值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）；②f（x）是奇函数；③f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递增；④方程|f（x）|=a总有四个不同的解，其中正确的是（）A．仅②④B．仅②③C．仅①②D．仅③④三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）关于x的不等式|＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a，b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求tanα的值．20．（14分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：（1）异面直线EF和A1B所成的角；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．21．（15分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，若∥．（1）求角A、B、C的值；（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．22．（15分）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T，若恒有f（x+T）=mf（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=﹣x2+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上的m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数m的取值范围．23．（18分）已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…Pn（an，bn），（n为正整数）都在函数y=（）x的图象上．（1）若数列{an}是等差数列，证明：数列{bn}是等比数列；（2）设an=n，（n∈N+），过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn，试求最小的实数t，使cn≤t对一切正整数n恒成立；（3）对（2）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k﹣1个3，得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试探究2016是否是数列{Sn}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．2016年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）不等式|x﹣3|＜5的解集是（﹣2，8）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】利用绝对值不等式的解法可知，|x﹣3|＜5⇔﹣5＜x﹣3＜5，从而可得答案．【解答】解：∵|x﹣3|＜5，∴﹣5＜x﹣3＜5，解得：﹣2＜x＜8，故答案为：（﹣2，8）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想，属于基础题．2．（4分）方程9x+3x﹣2=0的解是0．【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】将原方程中的9x看成是3x的平方，对方程进行因式分解，求出x，化简成同底的指数方程，利用函数的单调性解指数方程即可．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0故答案为0【点评】本题考查了指数函数的定义、解析式、定义域和值域、一元二次不等式与一元二次方程求解，属于基础题．3．（4分）若复数z满足z2﹣z+1=0，则|z|=1．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由求根公式求出z2﹣z+1=0的虚根，再代入复数的模的公式进行求解．【解答】解：∵z2﹣z+1=0，∴z===±i，∴|z|==1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次方程虚根的求法，以及复数的模公式应用．4．（4分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a14=20，则S19=190．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】等差数列性质得出a6+a14=a1+a19=20，代入S19=即可．【解答】解：根据等差数列性质a6+a14=a1+a19=20，∴S19==190．故答案为：190．【点评】本题考查等差数列前n项和计算，利用有关性质，则能巧妙解决．5．（4分）若，则sin2θ的值是．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有【分析】只需将已知式两边平方，化简即可．【解答】解：∵∴两边平方得：，即，∴故答案为：【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式．计算能力是高考考查的能力之一，防止计算出错，是基础题．6．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的，f（﹣1）=﹣f（1）=0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0=f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）=﹣f（0）=0，得到x的取值范围．【解答】解：首先，当x＜0时，根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的所以f（x）＜0=f（﹣1），可得﹣1＜x＜0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在（﹣∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数因为f（1）=0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1而f（0）=﹣f（0）=0所以使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）【点评】本题以函数奇偶性为例，考查了用函数的性质解不等式，属于基础题．解题时应该注意函数单调性与奇偶性的内在联系，是解决本题的关键．7．（4分）（文）设函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），则f﹣1（﹣1）=2．【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由函数y=f（x）的反函数是y=f﹣1（x），且函数y=f（x）过点P（2，﹣1），我们可得函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2），进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（x）过点P（2，﹣1），∴函数y=f﹣1（x）过点（﹣1，2）故f﹣1（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是反函数，其中原函数过（a，b）点，反函数必过（b，a）点的原则，是解答本题的关键．8．（4分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=1．【考点】8J：数列的极限；DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】先利用展开式中x3的系数为，求出a的值，再利用无穷等比数列和的极限公式求解．【解答】解：由题意，展开式的通项为令，则r=2∵展开式中x3的系数为，∴∵a＞0，∴∴故答案为：1．【点评】本题以二项式为载体，考查数列的极限，关键是利用展开式中x3的系数为，求出a的值，从而求极限．9．（4分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有36种（以数字作答）．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】本题是一个排列组合的实际应用，甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选两门．【解答】解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用，∵甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选，有C65=6种方案；第二类甲和乙中选一门，剩余6门课中选四门，有C21C64=30种方案．∴根据分类计数原理知共有6+30=36种方案．故答案为：36【点评】本题考查排列组合的实际应用，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．10．（4分）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，，其中a、b是实常数，若，且a，b，c成等差数列，则c的值是．【考点】6F：极限及其运算；8H：数列递推式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据洛必达法则求出an===3，bn=（b﹣a）=b=﹣，再根据等差中项即可求出c的值．【解答】解：an===3，bn=（b﹣a）=b=﹣，∴a=﹣，∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴c=﹣﹣（﹣）=，故答案为：【点评】本题考查了函数极限的求法和等差中项的性质，属于基础题．11．（4分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【考点】3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】若f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立，即x2+（2﹣k）x+1≤0对任意实数x∈（1，m]都成立，即（1，m]是不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集的一个子集，设不等式x2+（2﹣k）x+1≤0解集为a≤x≤b，则a≤1，b≥m，进而根据使f（x）