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2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=．2．（4分）若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁UA=．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6=0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t=．5．（4分）不等式＞|x|的解集为．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则=．10．（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，Sn=（﹣1）nan++n﹣3且（an+1﹣p）（an﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a=b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A={x|f（g（x））=0}，B={x|g（f（x））=0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=AB=2，BC=1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P（﹣1，k），△PAB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．23．（18分）已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．（1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】解：∵，∴﹣z=i+1，∴z=﹣1﹣i，∴|z|==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．2．（4分）若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁UA=（﹣∞，0）．【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】求出函数的值域确定出A，根据全集U=R，找出A的补集即可．【解答】解：函数y=x≥0，得到A=[0，+∞），∵全集U=R，∴∁UA=（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6=0的解为x=log23．【考点】3V：二次函数的性质与图象；4G：指数式与对数式的互化．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：x=log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．4．（4分）函数的最小正周期t=π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；OM：二阶行列式的定义．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值；5R：矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解．【解答】解：函数=cos（π﹣x）cosx﹣sin（π+x）sinx=﹣cos2x+sin2x=﹣cos2x，∴函数的最小正周期t==π．故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．（4分）不等式＞|x|的解集为（0，2）．【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【考点】%H：三角形的面积公式．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算，求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得：=（4，3），=（﹣3，4），∴=﹣=（﹣7，1），∴2=42+32=25，2=（﹣3）2+42=25，2=（﹣7）2+12=50；∴||2=||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S=×5×5=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算，进行解答，是基础题．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合．【分析】在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么在生物、政治、历史三门中可以选择1门或0门．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：=9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有=1种选法；共有选法：9+1=10种．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．（4分）若Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则=5．【考点】8J：数列的极限．菁优网版权所有【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的求和公式，计算可得d=10，再由=0，计算即可得到所求值．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，即有Sn=na1+n（n﹣1）d，即=a1+d（n﹣1），由，可得a1+d=a1+d+10，解得d=10，则==5+，即有=（5+）=5+=5+0=5．故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列极限的求法，注意运用数列极限公式，属于中档题．10．（4分）若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性