大学 高等数学 历年考题

-1-一。偏导数的几何应用1.[2012]求曲面4xyzzee在点ln2,ln2,1处的切平面和法线方程解令,,4xyzzFxyzee，则2211,,xyxyzzzzxyzxyFeFeFeezzzz从而切点的法向量为ln2,ln2,1,,2,2,4ln2//1,1,2ln2xyznFFF从而切平面为ln2ln22ln210,2ln20xyzxyz法线方程为ln2ln211,ln2ln2112ln22ln2xyzzxyz2.2011231,2,0240.zexyxy（）曲面在点处的切平面方程是3、[07]曲线cos:sinxatyatzct在点,0,0a的切线方程为0xayzac.4.[07]（化工类做）在曲面22122zxy上求出切平面，使所得的切平面与平面42210xyz平行。解：曲面的法向量4,,1nxy应与平面平面42210xyz的法向量平行，从而有411,1,4222xyyx，由于切点在曲面上221121122z因此切平面为1421210,2102xyzxyz5.[2006]已知直线34:273xyzL和平面:4223xyz则（B）A、L在内B、L与平行，但L不在内C、L与垂直D、L不与垂直，L不与平行6.[2006]曲面23zzexy在点1,2,0处的法线方程是12420xyz-2-7.[2006]（化工类做）已知直线1210:320xyLxz和2112:123xyzL，证明：12//LL，并求由12,LL所确定的平面方程。证明：直线1L上任取两点0,1,2,1,1,1，则11,2,3S是1L的方向向量；2L的一个方向向量为21,2,3S，因为12//SS，所以12//LL设12,LL所确定的平面方程为0AxByCzD，它经过点1,1,2和点0,1,2,1,1,1，所以2022000ABCDADBCDBDABCDC所求方程为210xy二。多元函数1.【2012】设2xyue，则2uuxyxy02.【2012】设2222xyzxyz,则1,0,1dz2dxdy3.【2012】函数22lnuxyz在点1,0,1A处沿1,0,1A指向点3,2,2B方向的方向导数124.【2012】证明函数242,,0,0,0,,0,0xyxyxyfxyxy在点0,0不连续，但存在有一阶偏导数解因为2224424242000lim,limlim1xykxykxxxxykxkfxyxyxkxk与k有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数,fxy在点0,0不连续。又00,00,0000,0limlim00xxxfxffxx，-3-或000,0,000xxxxxffx000,0,0000,0limlim00yyyfyffyy，或00,000yyyf于是函数,fxy在点0,0存在有一阶偏导数。5.【2012】设ln0xzzy,求2,,zzzxyxy解令,,lnxzFxyzzy，则211,xyyzFFzzyy2211zxyxFzzyzz，于是用公式得22211,11()yxzzFFzzzzyzxxxFxzyFyxzzzzz2222200()()yyzzxzzxzzzxyxzyxzzzzxyyxyxzxzxz22232333zxzzzzxzzxzyxzyxzyxz6.[2012]在曲面22zxy上找一点，使它到点1,2,33的距离最短，并求最短距离。解设点为,,xyz，则22222,1233zxydxyz等价于求222,,1233fxyzxyz在约束220zxy之下的最小值。令22222,,1233Lxyzxyzzxy且由2222210,220,xyxyLxLyxyxy222330,0zLzLzxy-4-解得驻点2,22,23xyz，最短距离为2,22.,236df（令222222,,1233Lxyzxyzzxy计算起来更加方便，舍去驻点1,2,3xyz，1,2.,324df）7.[2011]03sinlim3.xyxyx8.[2011],44.sinzxxydzdx,9.【2011】设函数f有二阶连续偏导数,求函数,xufxy的二阶混合偏导数.221222222231,uxzxxffffyyxyyyy解:10.【2011】求二元函数22zxxyy在点1,1处沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向z的值不变？1,11,13:coscos,3,35zzzgradzxyl解1,11,13,33,31,11,1,.zgradzgradz函数在该点沿-方向减少最快,沿与方向垂直的方向或函数值不变11.【2011】求函数221zxxyyxy的极值.-5-2221,11,11,122222210:,1,1,2102,1,2300,,11,1zxyxzxyyzzzABCxxyyACBAzxxyyxy解令得到驻点因为-且所以函数在点取得极小值0.12.[2010]2242,116,18.zxygradz+9点的梯度13.[2010]4422(,)21,1,1,1.fxyxyxxyy的极值点是14.[2010]:(,)0,0,(0,0)(0,0),0,0.fxyxyffxy证明在点处连续与存在但在处不可微0002200:1lim0(0,0),(,)0,0(,0)(0,0)2(0,0)lim(0,0)0,(0,0)(0,0).(0,0)(0,0)3lim(,)0,0.xyxyxxyxyxyxyffxyxyfxfffxffffxfyxyfxy解因为所以在点处连续.=0,同理所以与存在因为不存在,所以在处不可微15.[2010],cos,sin,uxyxryruuxyryx设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式将变换为,下的表达式.-6-22cos,sin,arctan,sincoscos,sin,,.yxryrrxyxrrxyxryruuuxyyx解:由得到从而于是16.[2009]000099391limlim639xxyyxyxyxyxyxy17.[2009]2332222222200110,1xxyyxyxyududxdydxxyxyxy在点处18.[2009]设22,yzfxx，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2zxy。解：2223212222122222232,222422zyfyxzyyyyyyffffffxyxxxxxx19.[2009]求函数22,fxyxy在圆域224xy的最大值和最小值。解：方法一：当224xy时，找驻点20,20xfxfy，得唯一驻点0,0当224xy时，是条件极值，考虑函数2222,,4Fxyxyxy，解方程组2222022040xyFxFyFxy可得02,20xxyy所求最大值为4，最小值为4。方法二：设22,axby，则,fxyab且4,0,0abab，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为4。方法三：圆域224xy可写成2cos01,022sinxrryr-7-2,4cos2fxyr最大值为4，最小值为4。20.[2009]（化工类做）求由方程组222222320zxyxyz所确定的yx及zx的导数dydx及dzdx。:,6,6213xdyxzxdzxdxyzydxz解每个方程两边同时对求导得到21.[2009]（化工类做）求二元函数22zxxyy在点1,1处沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？1,11,13:coscos,3,35zzzgradzxyl解1,11,13,33,31,11,1,.zgradzgradz函数在该点沿-方向减少最快,沿与方向垂直的方向或函数值不变22、[2008]函数,fxy在点,xy处可微是它在该点偏导数zx与zy连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）23、[2008]设,,,zfxxyfuv有连续偏导数，则dz122fyfdxxfdy24、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面,0,,,xaybFabczczc为常数，其中,Fuv有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令,,,xaybGxyzFzczc，则1211,xyGFGFzczc222zaxbyGFFzczc从而曲面在点,,xyz处的切平面为-8-122220XxYyaxbyFFFFZzzczczczc，其中,,XYZ为动点。显然,,,,XYZabc时成立，故切平面均过,,abc。证毕25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设l是曲线22260xyzxyz在点1,2,1处的切向量，求函数,,fxyzxyyzzx在该点沿l的方向导数解：方程组22260xyzxyz两端对x求导，得222010xyyzzyz把1,2,1代入得12010yzyz，解得01yz，于是在点1,2,1处的切向量为1,,1,0,1tyz，单位切向量为11,0,22t所求方向导数为1,2,1111