大学高等数学统考卷下 08届 期中考试附加答案

1609475518860共5页第1页2008-2009高等数学下册期中考试试卷(考试时间：90分钟)姓名：班级：成绩单号：一、填空题（54）1、[5分]求函数22zxy在点0,0处沿方向1,0的方向导数解：由定义2200lim1xyzl2、[5分]求函数uxxyxyz在点1,0,3M的梯度解1,0,31,,1,4,0Mgraduyyzxxzxy3、[5分]求曲面1xyyzzx在点3,1,2处的切平面方程和法线方程解令,,1Fxyzxyyzzx，则3,1,2,,1,5,2nyzxzyx从而切平面方程为351220xyz，即5220xyz法线方程为12352yzx4、[5分]交换积分次序24212,,xxxdxfxydydxfxydy解积分区域为两个小区域之并121224:,:2xxDDxyxxy作图得知合并后的区域也可表示为12212:yDDyxy从而22422121,,,yxyxxdxfxydydxfxydydyfxydx二、（8分）设,,zfxyxyxy，其中具有二阶连续偏导数，求dz与2zxy1609475518860共5页第2页解123dzfdxdyfdxdyfydxxdy123123ffyfdxffxfdy从而123zffyfx，212311121311zffyffffxxyy21222333132331111fffxfyfffx31122331323fffxyfxyfxyf三、（8分）设(,)fst具有连续的偏导数，且(,)0fst，方程(,)0yzfxx确定了z是,xy的函数，试求zzxyxy解：12220xdyydxxdzzdxffxx，解出1212yfzfdxxfdydzxf从而zzxyzxy四、[8分]求抛物面22zxy与平面220xyz之间的最短距离解：设点,,Mxyz在抛物面上，则其到平面的距离为226xyzd先求22,,622fxyzdxyz在220xyz下的最小值点：令22222Lxyzxyz则由2222220,222204220,0xyzLxyzxLxyzyLxyzLxyz，1609475518860共5页第3页得最小值点111,,448，从而最短距离为min1112276448246d五、[8分]设直线0:30xybLxayz在平面上，而平面与曲面22zxy相切于点1,2,5，求,ab之值。解：由曲面得切平面法向量1,2,52,2,12,4,1xy从而有切平面方程为2450xyz由直线0:30xybLxayz得：3,(1)311yxbxbzbyayzba从而由该直线必平行于平面知2410,5snaa；在由该直线上的点要在平面上得240350,2bbb六、[8分]计算Dxydxdy，其中22,112,Dxyxyxy解令1,1uxvy，得1,1,xuyvdxdyJdudvdudv225,2,,02,44uvDuvuvuvrr从而25440cossinuvDDxydxdyuvdudvdrrrdr2255324444008cossinsincos33rdrdr1609475518860共5页第4页七、[8分]计算二重积分21Dyxdxdy，其中:02,02Dxy解：用21yx将区域划分为两个2121:01,12,DxxyDDD21Dyxdxdy122211DDyxdxdyxydxdy21122220121121DDxyxdxdyxydxdydxyxdy222001dxxydy222122222001021122xyyxydxxydx12222220041211212xxxdxxdx12125334220000228821253315xxxxxdxxdxx八、[8分]计算22Ixydv，其中为平面曲线220yzx绕z轴旋转一周的曲面与平面8z所围的区域。解：由交线2228xyzz知在xoy面上的投影域为22:16Dxy用柱坐标计算2248200210243rIdrrdrdz九、[8分]设由曲面22zxy与222zxy所围成的立体中每点的密度与该点到xOy平面距离成正比，试求该立体的质量M解：由交线22222zxyzxy知立体在xOy面上的投影域为22:1Dxy1609475518860共5页第5页用柱坐标计算22120034rrIzdvdrdrzdz十、求曲面22zxy被柱面220xyaxa所截下的有限曲面片的面积。解：222222,,12xyxyxyzzdSzzdxdydxdyxyxy从而该面积=222222224xyaxadxdya十一、[8分]计算积分2xyzdv，其中是22zxy和2222xyz所围成的空间闭区域。解：由222222,120,12zxyzzxyz，从而在xOy上投影域为221xy，且关于坐标平面,xOzyOz都对称，因此2221222222200rrxyzdvxyzdvdrdrrzdz112224623002212212222222333333rrrrrrdrtttttdt113532334222002144112222233153312ttttdttttt892426015