大学高等数学统考卷下 10届 期中考试附加答案

《高等数学》试卷第1页共4页三、（本题8分）求函数22,fxyxy在圆域224xy上的最大值与最小值.解：先求圆内部的驻点20,200xyfxfyxy得驻点，---------2’再求圆周上的有约束极值，令22224Lxyxy则220,220,xyLxxLyy2240xy若0则必有0,0,xy2240xy矛盾，若0则必有0,2,xy或2,0,xy--------------------------------------5’由于0,00,2,04,0,24fff从而要求的最大值为4，最小值为4.---------------------------------------------------1’四、（本题8分）求锥面22yxz被柱面xyx222割下部分的曲面面积..解:IdS-------------------------2’=22Ddxdy---------------6’五、（本题8分）计算axxdzyxzdydx02220202解:原式220222022xxdyyxdxa--------------------2’cos2022022drrda------------------------------------4’982a--------------------------------------------------------2’六、（本题8分）计算曲面积分Ixyzdydzydzdxzdxdy，其中为半球面222zRxy的上侧.《高等数学》试卷第2页共4页补面2220()zxyR,取上侧------------1’1Ixyzdydzydzdxzdxdy--------------1’2yzdv------------------------------------3’343R-------------------------------------------3’七、（本题7分）计算曲线积分Lyxxyyx22)1(dd)1(,其中L表示包含点)0,1(在内的简单闭曲线，沿逆时针方向.解:22)1(1yxxx22)1(yxyy-----------------2’Lyxxyyx22)1(dd)1(122)1(dd)1(Lyxxyyx,2221)1(:ryxL,逆时针----------3’12dd)1(Lrxyyx2----------------------------------------------------------------------2’八、（本题7分）求如下初值问题的解0)1(,1)1(12yyyyy.解:由于方程不显含x,故令yp,则ypppdd,从而,方程化为21ddpypyp,-----------------2’即yypppd21d22两端积分得221Cyp.---------------3’代入初始条件可知,1C.于是,1222yyp,即《高等数学》试卷第3页共4页xyyd1d2两端积分并代入初始条件,则无论右端为正号,还是负号,其结果均为2ee11xxy------------------2’十一、（非化工类做）（本题7分）将函数210fxxx展开成余弦级数.解由于220022123axdx，-----------------2’1220241cos1,1,2,,nnaxnxdxnn--------------2’所以122211114cos,03nnfxxnxxn-------------3十二、（非化工类做）（本题6分）求幂级数nnnxn131的收敛半径和收敛域.解:收敛半径3----------------------4’收敛域(-3,3)-------------------------2’十、（化工类做）（本题6分）计算二重积分Ddxdyxy,其中D是圆域：222ayx.Ddxdyxy14Dxydxdy---------------------1’22004xaaxydydx--------------3’24a------------------------------2’十一、（化工类做）（本题7分）求由方程组222222320zxyxyz所确定的yx及zx《高等数学》试卷第4页共4页的导数ddyx及ddzx.解：由已知2222222602460dzxdxydydzxdxydyxdxdzxdxzdzxdxydyzdz22606,132623220xdxzdzdzxdyxxydxzdxyyzxdxydyzxdxydy十二、（化工类做）（本题6分）求二元函数22zxxyy在点1,1沿方向2,1l的方向导数及梯度，并指出z在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向z的值不变？解：1,11,12,23,3gradzxyyx---------2’21,55l，2135{3,3},555zl----------------2’z在该点沿梯度相反方向，即11,22方向减少得最快；-----------------1’沿与梯度垂直的那个方向，即11,22方向z的值不变---------------1’