球面摆运动规律初探

球面摆运动规律初探湖北省黄陂一中试题研究中心：姜付锦1《物理教师》中《圆锥摆模型的疑难化解与相关教学建议》一文的BUG原文中认为正在匀速圆周运动的圆锥摆若突然增大速度，摆角会增大并离心运动最后达到稳定，再次匀速圆周运动，这其实是错的，不可能再次稳定，它只会周期性的上下往复运动。这其实就是一个球面摆的模型。2定量研究2.1提出问题如图1所示，为一圆锥摆，悬点为A，绳的长度为L，绳子与竖直方向的夹角为，设小球在水平面内做匀速圆周运动，则小球运动的速度为sintangLv。若小球运动的速度sintangLv(v垂直于竖直平面)，小球还做圆锥摆动吗？小球的运动轨迹是什么样的?2.2模型建立建立如图2所示的直角坐标系，悬点A坐标为),0,0(0z，则小球运动的动力学方程为：zmmgTcosxmTcossinymTsinsinA),0,0(0zoTmg图2),,(zyxPzxyA图1O相关几何关系：22220)(Lyxzz，zzyx022tan于是有：20222)]([Lzzgzyxxx20222)]([Lzzgzyxyy202220)]()[(Lzzgzyxzzz初始条件：令mL230mz300)0(1,)0(,0)0(zyx待改变)0(x0)0(y，0)0(z2.3数值模拟在点），，（010给小球一初速度0v，)0(0xv（1）当smgLv310tansin0时，小球恰好做圆锥摆动。用Mathcad模拟得到其轨迹如图3所示。（2）当smgLv310tansin0时，smv3160令则其运动轨迹如图4所示。XYZ()图3（当tansin0gLv时小球运动轨迹与图4类似）2.4轨迹的研究和最值速度的研究(本题与第30届中学生物理竞赛复赛第一题类似)小球受到重力和弹力作用，以竖直向下为轴，重力的力矩为零，弹力的力矩为零，故小球相对于轴的角动量守恒，设小球的极值速度为mv，此时绳子与水平面所成的角度为m，则有系统机械能守恒：（初速度为0v，小于此位置的匀速圆周的速率）22011sin22mmmvmvmgL相对于竖直轴的角动量守恒0cosmmmvmvL联立以上两式可求得24220024220016sin4162mmvvgLgLvvgLv（若初速度为0v，大于此位置的匀速圆周的速率则小球会向上运动）22011sin22mmmvmvmgL相对于竖直轴的角动量守恒0cosmmmvmvL联立以上两式可求得24220024220016sin4162mmvvgLgLvvgLv4一点猜想XYZ()运动时间t=10.2s本题中的运动轨迹是周期性的，可以是闭合的，与初始状态值有关。（1）我用MathCAD进行的数值模拟：00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.50.51iti00.20.40.60.811515.0515.1iti00.20.40.60.811515.0215.0415.06viti01234520406080iti00.20.40.60.810.020.040.060.080.1cositi通过解析解与数值模拟解进行对比可以发现解析解是没有问题的！（2）原文中的实际运动轨迹的投影是这样的101101YiXi10100.050.1ZiXi10100.050.1ZiYi物体的运动轨迹可能是这样的，可能封闭也可能不封闭，与初始状态有关！XYZ()XYZ()最终意见：（1）适当补充运动的相图，,与,关系图。（2）如果可能，则可以研究轨迹封闭时的初始值的要求。（3）最后要把这个模拟推广到更一般的情况，在圆心以下某一位置以某一速度释放，可能稳定时的圆锥摆运动，也可能在某两个水平面之间往返运动，而且在往返运动时可能是封闭的也可能是不封闭的。3郑青岳老师书中的一个BUG数值模拟同上：用郑特的数值来模拟如下：1、三维的运动轨迹图（取名“郑特曲线”）2、2、二维的图：0.20.100.10.20.20.100.10.2YiXi0.150.10.0500.050.20.100.10.2YiZi0.20.100.10.20.150.10.0500.05ZiXi4结语球面摆其实是一个非常复杂模型，对初始值非常敏感，出题人要慎之又慎，否则就会出成神题！