考点09-指数函数(讲解)(解析版)

考点9：指数函数【思维导图】【常见考法】考法一：定义辨析1．下列函数：①2yx=；②2xy；③12xy；④1xya（1a且2a）.其中，指数函数的个数是。【答案】1【解析】①函数2yx=是二次函数；②函数2xy底数小于0，故不是指数函数；③函数12xy为1x，故不是指数函数；④1aQ且2a，可得出10a且11a，则1xya是指数函数。指数函数个数为1.2．若函数1((2)xyxa是自变量）是指数函数，则a的取值范围是。【答案】12a且1a【解析】函数1((2)xyxa是自变量）是指数函数210211aa且解得：12a且1a3．若函数21()(33)()22xfxaaa是指数函数，则实数a的值为_________．【答案】2【解析】因为函数21()(33)()22xfxaaa是指数函数,所以2331aa且20a,解得2a.故答案为:2考法二：定义域1．函数f(x)=的定义域为。【答案】(−3,0]【解析】要使函数式有意义，需，则函数的定义域为(−3,0]．2．函数()422xxfx的定义域为______________．【答案】[1,)【解析】换元20xt，得出220tt，解得1t（舍去）或2t，即22x，解得1x.因此，函数yfx的定义域为1,，故答案为1,.3．设函数f（x）=x44，则函数f（x4）的定义域为。【答案】,4【解析】因为44xfx，所以4444xxf，因为44440,44,1,44xxxx，所以4xf的定义域为,4．4.函数y＝1xa的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为。【答案】（0,1）【解析】要使函数1(0xyaa且1)a有意义,则10xa,即01xaa,当1a时，0x；当01a时，0x，因为1xya的定义域为,0所以可得01a符合题意，a的取值范围为01a.5．已知f（x）=2x2axa31的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】[-1，0]【解析】∵f（x）2231xaxa的定义域为R，∴22131xax0对任意x∈R恒成立，即220313xaxa恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为[﹣1，0]．考法三：单调性1．函数2212xxy的单调递增区间为。【答案】[1,)【解析】因为函数221yxx的单调递减区间为[1,),所以原函数的单调递增区间为[1,).2．函数243()2xxfx的单调减区间为。【答案】3,12【解析】设243txx，则由2430txx.得到41x，即函数的定义域[4,1].又2232543()24txxx.所以243txx在3[,1]2上单调递减。3．已知函数1()2xfx，则不等式24(3)fafa的解集为。【答案】(1,4)【解析】可知函数()fx为减函数，由2(4)(3)fafa，可得243aa，整理得2340aa，解得14a，所以不等式的解集为(1,4)．4．若函数6(3)3,7(),7xaxxfxax单调递增,则实数a的取值范围是。【答案】9,34【解析】函数6(3)3,7(),7xaxxfxax单调递增，301373aaaa解得934a所以实数a的取值范围是9,34．5．，，则，，的大小关系为。【答案】tt【解析】很明显൐Ͳ൐Ͳ൐，且：ͲtͲ൐；ͲͲ൐，综上可得：tt.6．已知3413a，1213b，12c，则abc、、的大小关系。【答案】cba【解析】因为13xy在R上递减，且13024，则13024111333，所以1ba.又因为xy在R上递增，且102，所以1021c，即1c.因此，cba.7．0.81.1512log2,2,,2abc已知则abc、、的大小关系是。【答案】acb【解析】5552log2log4log51a，1.122b，0.80.811222c，∴acb，考法四：值域1．设函数121xfxxR,则它的值域为。【答案】(0,1)【解析】由题：xR，20,x，211,x，所以10,121x121xfxxR的值域为()0,1.2．函数221()2xxy的值域是。【答案】1[,)2【解析】令22txx，则1()2ty，而222(1)11txxx，所以11()22ty.3．函数1425xxy在[1,2]上值域为。【答案】5,3【解析】21242522252225xxxxxxy，令2xt,因为[1,2]x则2,4t，所以22524yttt，而22524yttt的对称轴1x，在2,4上单调递增，所以当2t时，y有最小值5；当4t时，y有最大值3；所以y的值域为5,3，4．已知实数0a且1a,若函数6,2(),2xxxfxax的值域为[4,),则a的取值范围是。【答案】[2,)【解析】实数0a且1a,若函数6,2(),2xxxfxax的值域为[4,),当01a时,当2x时,()fx的值域为20,a,与值域为[4,)矛盾,所以01a不成立当1a时,对于函数()6fxx,2x,函数的值域为[4,).所以只需当2x时值域为[4,)的子集即可.即24a,解得2a（舍去2a）综上可知a的取值范围为[2,)5．已知函数2,()1,2xxxafxxa,若()fx的值域为(0,)，则实数a的取值范围是________.【答案】(,4][2,0)【解析】0不在()fx的值域中，0a，又数形结合可知，当1,()21(0,())2xaxafx，当xa时，22[,)()fxxa，()fx的值域为(0,)，需满足21()2aa，当0x时，2yx=与2xy的图象恰有两个交点(4,16)和(2,4)，且当4x或02x时，2xy图象位于2yx=的图象上方，当42x时，2xy图象位于2yx=的图象下方，所以有4a或20a.故答案为:(,4][2,0).6．若函数421xxya的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．【答案】（﹣∞，﹣2]【解析】设()421xxgxa，若函数421xxya的值域为[0，)，则等价于[0，)是()gx值域的子集，2()421(2)21xxxxgxaa，设2xt，则0t，则2()1yhttat，(0)10h，当对称轴02at，即0a时，不满足条件．当02at，即0a时，则判别式△240a，即022aaa或，则2a，即实数a的取值范围是(，2].故答案为：(，2]考法五：定点1．函数11(0xyaa且1)a的图象必经过定点。【答案】1,2【解析】当1x时，无论a取何值，012ya函数11(0xyaa且1)a的图象必经过定点1,22．已知曲线11(0xyaa且1)a过定点,kb，若mnb且0,0mn，则41mn的最小值为。【答案】92【解析】定点为(1,2),1,2kb，2mn41141()()2mnmnmn∴149(5+)22mnnm当且仅当4mnnm时等号成立，即42,33mn时取得最小值92.3．已知函数24()xfanx（0a且1a）的图象恒过定点(,2)Pm，则mn________.【答案】3【解析】根据指数函数过定点的知识可知24012mn，解得2,1mn，所以3mn.答案为：3考法六：图像1．若函数2xym的图像不经过第二象限，则m的取值范围是。【答案】1m【解析】指数函数2xy过点()0,1,则函数2xym过点0,1m,若图像不经过第二象限,则10m,即1m,2．若函数1xyab（0a且1a）的图象不经过第一象限，则有。A．1a且0bB．1a且1bC．01a且0bD．01a且1b【答案】C【解析】函数图象不经过第一象限，则指数函数xya单调递减，即01a，且当0x时，010ab，求解不等式可得：0b，综上可得：01a且0b.本题选择C选项.3．函数f（x）=ax–b的图象如图所示，其中a，b为常数，则loga（1–b）的取值。A．恒等于0B．恒小于0C．恒大于0D．无法判断【答案】B【解析】由图象为减函数可知，0a1，令x=0，可得图象与y轴的交点为（0，a–b），显然a–b1，即a–ba0．∴–b0，1–b1．∴loga（1–b）0．故选B．4．已知函数()()()fxxaxb（其中)ab的图象如图所示，则函数()xgxab的图象是。A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的图象可知，10b，1a，则()xgxab为增函数，(0)10gb，()gx过定点(0,1)b，故选：C．