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高等流体力学习题第一章课后练习题解1.2一速度场用23,,111xyzuvwttt===+++描述，（1）求加速度的欧拉描述；（2）先求矢径表示式000(,,,)rrxyzt=GG，再求此加速度的拉格朗日描述；（3）求流线。(1)解：加速度的欧拉描述2222210(1)112222(1)11(1)3336(1)11(1)xyzDuuuxxauDxtxtttvvyyyavtyttttwwzzzawtztttt∂∂==+=−+=∂∂+++∂∂=+=−+=∂∂++++∂∂=+=−+=∂∂++++12323000102030200(2)lnln(1)11(1)(1)(1)0c(1)(1)dxxdxdtxtcdttxtxctyctzcttxxyyzzxcyczrxtiytjz=⇒=⇒=++⇒++=+=+=+========++++KKK 先求迹线同样可求得，由时，，，得，，于是位置矢量可表示为，30(1)tk+K加速度的拉格朗日描述，[]2022200223002(1)0(1)2(1)6(1)xyzaxttaytytaztztt∂=+=∂∂⎡⎤=+=⎣⎦∂∂⎡⎤=+=+⎣⎦∂()()()()111212231332(3)ln/112ln2/113ln3/111stststdxsdsxcxcexttdysdsycyceyttdzsdszczcezttxyzs/tycxz+++′=⇒=+⇒=++′=⇒=+⇒=++′=⇒=+⇒=+++′= 求流线从、、表达式中消去得3cx⎧⎨′′=⎩1.5已知流体质点的空间位置表示如下，2300000,(1),(1)ttxxyyxezzxe−−==+−=+−，求（1）速度的欧拉表示；（2）加速度的欧拉和拉格朗日表示；（3）过点(1,1,1)的流线及0t=时在000(,,)(1,1,1)xyz=处的流体质点的迹线；（4）散度、旋度及涡线；（5）应变率张量和旋转张量。解：（1）速度欧拉表示22330000,22,33ttttxxyzuvxexewxexetttt−−−−∂∂∂∂=====−=−==−=−∂∂∂∂（2）加速度拉格朗日表示23000,4,9ttxyzuvwaaxeaxettt−−∂∂∂======∂∂∂加速度欧拉表示：230,4,9ttxyzuvwaaxeaxettt−−∂∂∂======∂∂∂（3）流线与迹线由于0u=，这是一个平面流动问题，流线微分方程为2300230102232,3ttttdydzdsxexeyxesczxesc−−−−==⇒−−=−+=−+由初始条件0120,(,,)(1,1,1)1,1,1sxyzxxcc==⇒====，于是，231,21,31ttxyeszes−−==−+=−+消去参数s得流线方程，()21,113txyze==−+将000(,,)(1,1,1)xyz=分别代入题目给出的x,y和z表达式，即得迹线方程，22331,11,11ttttxyeezee−−−−==+−==+−=（4）散度，旋度和涡线()()230023ttuvwuxexexyzyz−−∂∂∂∂∂∇⋅=++=+−+−=∂∂∂∂∂G322332023ttttijkuejekxyzxexe−−−−∂∂∂∇×==−∂∂∂−−GGGGGG涡线方程，12322323tttxcdydzzyecee−−==⇒=−+−（5）应变率张量和旋转张量23232233330022000033000022tttttttteeeeeeee−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠S,A1.8设速度场/,,0uxtvyw===，求经过空间固定点(,,)xyz∗∗∗在t时刻的脉线方程。解：将速度式代入迹线微分方程，/0dxdydzdtxty===积分得123,,txctycezc===由(,,)(,,)txyzxyzτ∗∗∗==时得1123,,cxcyeczττ−−∗∗∗===将以上常数代入迹线方程，1,,txxtyyezzττ−−∗∗∗===以上即所求脉线方程，式中tτ−∞≤。1.11设一很长的风洞中，温度T的变化规律为/0sin2/xLTTaetπτ−=−（），其中0TaLτ、、、均为常数，x是从入口处量起的距离，流体质点以常速度U进入风洞，求流体质点通过风洞时温度的变化率。解：求流体质点温度变化率即求温度的随体导数，()//222cossin1/xLxLDtTTttUaeUaeLDttxπππτττ−−∂∂⎛⎞=+=−+−−⎜⎟∂∂⎝⎠/222=sincosxLUttaeLπππτττ−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠1.17已知流场2216,10,,uxyvwyz=+==（1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量，010,005,10xyyx≤≤=≤≤=；；010,505,0xyyx≤≤=≤≤=；；（2）求涡量ΩG，然后求AndAΩ⋅∫GG，式中τ是（1）中给出的矩形面积，nG是此面积的法线单位矢量。()105002200105331161016510105000016161051055000101051033LudlxdxdyxdxdyxyxxyxΓΓ=⋅=++++=++++==−∫∫∫∫∫KK解：（）求环量222221610()(1)51050AAAijkuzikxyzxyyzndAzikkdAdAA∂∂∂Ω=∇×==−∂∂∂+Ω⋅=−⋅=−=−=−×=−∫∫∫KKKKKKKKKKKK（）求涡量和涡通量比较以上结果得LLudlndA⋅=Ω⋅∫∫KKKK1.19在p点的应力张量由下式给出，702050204−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥⎣⎦Σ求（1）在p点与法线单位矢量221333n⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠K，，垂直的平面上的应力矢量nPK；（2）垂直于该平面的应力矢量分量；（3）nG与nPK之间的夹角。70222110(1),,0504,,03333204npn−⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥=⋅=−=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠−⎢⎥⎣⎦ΣKK解：2/31044(2)4,,02/3391/3nnnpnσ⎛⎞⎛⎞⎜⎟=⋅=−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠KK(3)cosnnpnpnθ⋅=KKKK510222449cos0.93891040320.1nnpnpθθ⋅==≈⎛⎞++⎜⎟⎝⎠≈DKKK1.23设流动速度场0uyztvzxtw===，，，粘性系数0.01Ns/mµ=⋅，求各切应力。202020()0.020.010.01xxyyzzxyyxxzzxyzzyuvwxyzuvztztztyxuwytytzxvwxtxtzyτµτµτµττµµττµµττµµ∂∂∂======∂∂∂⎛⎞∂∂==+=+=⎜⎟∂∂⎝⎠∂∂⎛⎞==+==⎜⎟∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂==+==⎜⎟∂∂⎝⎠解：，，1第二章课后练习题2.2从欧拉观点出发，利用边长分别为,rrδδθ和sinrθδω的微元控制体推导球坐标系中连续方程的一般表达式。解：作控制体如图。依据质量守恒原理，控制体内质量变化率＋净流出控制体质量流率＝0（a）控制体内质量变化率，()22sinsinrrrrttρρθδδθδωθδδθδω∂∂=∂∂(b)从const.r=面流入控制体质量流率2sinrurρθδθδω从const.rrδ+=面流出控制体质量流率()22sinsinrrururrrρθδθδωρθδθδωδ∂+∂于是则沿r方向净流出控制体质量流率，()2sinrurrrρθδθδωδ∂∂(c)同样可推得沿θ和ω方向净流出控制体质量流率分别为()sinurrθρθδθδωδθ∂∂和()urrωρδθδωδω∂∂(d)(e)将式(b)、(c)、(d)和(e)代入式(a)，并加以整理得()()()22111sin0sinsinrruuutrrrrθωρρρθρθθθω∂∂∂∂+++=∂∂∂∂(f)2.3利用附录C中给出的直角坐标系和圆柱坐标系变量间的函数关系，从直角坐标系中的连续方程出发推导圆柱坐标系中的连续方程。解：直角坐标与圆柱坐标间坐标变量关系，22,tg=/sincoscos,sin,,sincoscossinRxyyxRRxyxRyRRxRxxRRRyRyyRRzzθθθθθθθθθθθθθθθθθ=+⇒∂∂∂∂===−=⇒∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=−∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂直角坐标与圆柱坐标间速度分量间关系，cossin,sincos,Rzuuvuuvuwθθθθθ=+=−+=于是rθωxyzrδrδθsinrθδω2()()()()()()()()()()()()()sincoscossin1cossinsincos1cossinuvwuxyzuuvvwRRRRzuvuvRRuvwRzρρρρθθθρρθρρρθθρθθρθθθρθθρ∂∂∂∇⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂=−+++∂∂∂∂∂∂∂=++−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂∂+++⎡⎤⎣⎦∂G()()()11RRuuuwRRRzθρρρρθ∂∂∂=+++∂∂∂()()()11RRuuwRRRzθρρρθ∂∂∂=++∂∂∂将上式代入连续方程()0utρρ∂+∇⋅=∂G得圆柱坐标中连续方程为()()()110RRuuwtRRRzθρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂2.5流体在弯曲的变截面细管中流动，设A为细管的横截面积，在A截面上流动参数均匀分布，试证明对该细管连续方程可写为，()0AAutsρρ∂∂+=∂∂式中u是沿管轴的速度，sδ是沿流动方向的微元弧长。()()121221,0,()CVCSCVCSAAdsAAdVundstdVAdsttAuundsAuAudssAtρρρρρρρρρΣΣ∂+⋅=∂∂∂≈∂∂∂⋅=++=−≈∂∂+∂∫∫∫∫∫∫∫KKKK解：取长的细管如图取两端面、及侧表面所围之体积为控制体。应用积分连续方程对于上述控制体代入积分连续方程得()0Ausρ∂=∂2.11利用直角坐标系和圆柱坐标系坐标间的函数关系，推导惯性项()uu⋅∇KK在圆柱坐标系中的径向分量的表达式。1A22uρ11uρdsΣ2A3解：首先求算符u⋅∇G在圆柱坐标系的表达式。利用2.3题中得到的直角坐标与圆柱坐标中对坐标导数的关系式，()()sincoscossin1cossinsincosRzuuvwxyzuvwRRRRzuvuvwRRzuuuRRzθθθθθθθθθθθθθ∂∂∂⋅∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂=++−++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂K利用速度分量关系式cossinRuuvθθ=+有[]()cos()sin()cossincossincossincossincossinRRzRzRzRuuuuuvuuuuuvvvuuuuRRzRRzuuvuvuvuuRRRzzuuvRθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅∇=⋅∇+⋅∇∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂=+∂KKKK()(cossin)(sincos)(cossin)zuuvuvRuuvzθθθθθθθθθ∂⎡⎤++−−+⎢⎥∂⎣⎦∂++∂2RRRRRRRzRzuuuuuuuuuuuuuuRRzRRzRθθθθθθ∂∂∂∂∂∂⎛⎞=+−+=++−⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠又解：由附录C()()()()123212322111111212311331233311()()()aaaaaaaaahahahxxxhxxahahaeeehxx⎧⎛⎞⎡⎤∂∂∂∂∂⎪⋅∇=++−−⎨⎜⎟⎢⎥∂∂∂∂∂⎪⎝⎠⎣⎦⎩⎫⎡⎤∂∂⎪+−+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎬⎢⎥∂∂⎪⎣⎦⎭GGGGG对于柱坐标，123123123123,,,,,1,,1,,,RzRzxRxxzauauauhhRheeeeeeθθθ============GGGGGG于是，2[()]()RzRRzRRzzRRRRzuuuuuuueuuuuuRuuRRRRRzRuuuuuuuRRzRθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞⎡⎤⎛⎞⋅⋅∇=++−−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥