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四大类型专项练习1专题：一次函数的实际应用类型1最值问题1．为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：(1)设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，则3x＋5y＝50，2x＋3y＝31，解得x＝5，y＝7.答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元．(2)设购买A型节能灯a只，购买B型节能灯(200－a)只，费用为w元，则w＝5a＋7(200－a)＝－2a＋1400，∵a≤3(200－a)，∴a≤150.∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200－a＝50.2．根据《太原市电动自行车管理条例》的规定，2019年5月1日起，未上牌的电动自行车将禁止上路行驶，而电动自行车上牌登记必须满足国家标准．某商店购进了甲、乙两种符合国家标准的新款电动自行车．其中甲种车总进价为22500元，乙种车总进价为45000元，四大类型专项练习2已知乙种车每辆的进价是甲种车进价的1.5倍，且购进的甲种车比乙种车少5辆．(1)甲种电动自行车每辆的进价是多少元？(2)这批电动自行车上市后很快销售一空．该商店计划按原进价再次购进这两种电动自行车共50辆，将新购进的电动自行车按照表格中的售价销售．设新购进甲种车m辆(20≤m≤30)，两种车全部售出的总利润为y元(不计其他成本)．①求y与m之间的函数关系式；②商店怎样安排进货方案，才能使销售完这批电动自行车获得的利润最大？最大利润是多少？型号甲乙售价(元/辆)20002800解：(1)设甲种电动自行车每辆的进价是x元，则乙种电动车的进价为1.5x元，由题意得22500x＋5＝450001.5x.解得x＝1500.经检验，x＝1500是原方程的解．答：甲种电动自行车每辆的进价是1500元．(2)①设新购进甲种电动自行车m辆，乙种电动自行车(50－m)辆，y＝(2000－1500)m＋(2800－1500×1.5)(50－m)＝－50m＋27500.②∵y＝－50m＋27500，y随m的增大而减小，且20≤m≤30，∴当m＝20时，y最大＝－50×20＋27500＝26500(元)．答：y与m的函数关系式为y＝－50m＋27500，当m＝20时，利润最大，最大利润为26500元．3．某运动品商场欲购进篮球和足球共100个，两种球的进价和售价四大类型专项练习3如下表所示．设购进篮球x(x为正整数)个，且所购进的两种球能全部卖出，获得的总利润为W元．(1)求总利润W关于x的函数解析式；(2)如果购进两种球的总费用不低于5800元且不超过6000元，那么该运动品商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润；(3)在(2)的条件下，若每个篮球的售价降低a元，请分析如何进货才能获得最大利润．篮球足球进价/(元/个)6254售价/(元/个)7660解：(1)设购进篮球x个，则购进足球(100－x)个，W＝(76－62)x＋(60－54)(100－x)＝8x＋600，即总利润W关于x的函数解析式为W＝8x＋600.(2)设总费用为y元，由题意得y＝62x＋54(100－x)＝8x＋5400.∵5800≤y≤6000，5800≤8x＋5400≤6000，解得50≤x≤75.∵W＝8x＋600，W随x的增大而增大，∴当x＝75时，W最大＝8×75＋600＝1200(元)，此时，100－x＝25，即当购进篮球75个、足球25个时，获利最大，最大利润为1200元．(3)若每个篮球的售价降低a元，则W＝8x＋600－ax＝(8－a)x＋600.①当8－a≥0，即0≤a≤8时，W随x的增大而增大，因此当x＝75时，W最大，即购进篮球75个、足球25个；四大类型专项练习4②当8－a＜0，即a＞8时，W随x的增大而减小，因此当x＝50时，W最大，即购进篮球50个、足球50个．综上，当0≤a≤8时，购进篮球75个、足球25个获利最大；当a＞8时，购进篮球50个、足球50个获利最大．4．某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：规格线下线上单价/(元/个)运费/(元/个)单价/(元/个)运费/(元/个)A240021020B300025030(1)如果在线下购买A，B两种书架20个，共花费5520元，求A，B两种书架各购买了多少个；(2)如果在线上购买A，B两种书架20个，共花费v元，设其中A种书架购买m个，求v关于m的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．解：(1)设购买A种书架x个，则购买B种书架(20－x)个．根据题意，得240x＋300(20－x)＝5520，解得x＝8.∴20－8＝12，即购买A种书架8个，B种书架12个．(2)根据题意，得v＝210m＋250(20－m)＋20m＋30(20－m)＝－50m＋5600.(3)根据题意，得20－m≥2m，解得m≤203.∵－50＜0，∴v随m的增大而减小，四大类型专项练习5∴当m＝6时，v最小＝－50×6＋5600＝5300(元)，线下购买时的花费为240×6＋300×14＝5640(元)，5640－5300＝340(元)，∴购买A种书架6个，B种书架14个时，花费最少．按照这种购买方案，线上比线下节约340元．类型2方案问题5．为了让学生拓展视野、丰富知识，加深与自然和文化的亲近感，增加对集体生活方式和社会公共道德的体验，我区某中学决定组织部分师生去随州炎帝故里开展研学旅行活动．在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有1位老师少带4个学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2位老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)3042租金/(元/辆)300400(1)参加此次研学旅行活动的老师有__16__人；学生有__284__人；租用客车总数为__8__辆．(2)设租用x辆乙种客车，租车费用为W元，请写出W与x之间的函数解析式；(3)在(2)的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．四大类型专项练习6解：(1)设老师有x人，学生有y人．依题意，得17x＝y－12，18x＝y＋4，解得x＝16，y＝284.∴老师有16人，学生有284人．∵每辆客车上至少要有2位老师，∴客车总数不能超过8辆．又要保证300名师生有车坐，客车总数不能小于30042＝507(辆)，取整为8辆．∴客车总数为8辆．故答案为16；284；8.(2)由题意得租用甲种客车(8－x)辆，∴W＝400x＋300(8－x)＝100x＋2400.(3)∵租车总费用不超过3100元，∴400x＋300(8－x)≤3100，解得x≤7.为使300名师生都有座，∴42x＋30(8－x)≥300，解得x≥5.∴5≤x≤7，x取整数为5，6，7.∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆、乙种客车5辆．方案二：租用甲种客车2辆、乙种客车6辆．方案三：租用甲种客车1辆、乙种客车7辆．∵W＝100x＋2400，100＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝5时，W最小＝2900元，故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．6．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3四大类型专项练习7个乙种文具共需花费30元．(1)求购买1个甲种文具、1个乙种文具各需多少元；(2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案；(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元；解：(1)购买1个甲种文具15元，1个乙种文具5元．(2)根据题意，得购买乙种文具(120－x)个，则955≤15x＋5(120－x)≤1000，解得35.5≤x≤40.∵x是整数，∴x＝36，37，38，39，40.∴有5种购买方案．(3)购买甲种文具36个、乙种文具84个时，需要的资金最少，最少资金是960元.类型3分段函数的应用7．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水xt，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数解析式．四大类型专项练习8(第5题)解：(1)当x≤10时，由题意知y＝ax.将x＝10，y＝15代入，得15＝10a，所以a＝1.5.故当x≤10时，y＝1.5x.当x＝8时，y＝1.5×8＝12.故应交水费12元．(2)当x＞10时，由题意知y＝b(x－10)＋15.将x＝20，y＝35代入，得35＝10b＋15，所以b＝2.故当x＞10时，y与x之间的函数解析式为y＝2x－5.类型4含有两个函数图象的应用（行程问题）8．已知A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也在同日下午骑摩托车按同一路线从A地出发驶往B地．如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程s(千米)与该日下午时间t(时)之间的关系．根据图象回答下列问题：(1)甲出发__1__小时后，乙才开始出发；乙的速度为__50__千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为__12.5__千米/时．(2)乙出发多少小时后追上了甲？写出解答过程．(3)请你自己再提出一个符合题意的问题情境，并解答．四大类型专项练习9解：(1)由图象中可知乙比甲晚出发1小时，乙1小时走了50千米，速度为50千米/时，甲全程的平均速度为50÷(5－1)＝12.5(千米/时)．故答案为1，50，12.5.(2)设QR的函数解析式为s＝kt＋b(k≠0)，把点Q(2，20)，R(5，50)代入得2k＋b＝20，5k＋b＝50，解得k＝10，b＝0，∴QR的函数解析式为s＝10t，2≤t≤5.同理，MN的函数解析式为s＝50t－100，2≤t≤3.∴10t＝50t－100，解得t＝2.5.2．5－2＝0.5(时)．答：乙出发0.5小时后追上了甲．(3)提出问题：“乙出发多少时间，两车相距15千米？”在PQ段时乙未出发，则在RQ段相距15千米．①当甲在前乙在后相距15千米时，10t－(50t－100)＝15，解得t＝178，178－2＝18(时)；②当乙在前甲在后相距15千米时，50t－100－10t＝15，解得t＝238，238－2＝78(时)．四大类型专项练习10∴乙出发18小时或78小时，两车相距15千米．9．“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：(1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1(元)，租用乙公司的车所需费用为y2(元)，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．解：(1)设y1＝k1x＋80，把点(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15.所以y1＝15x＋80