直线与椭圆位置关系及焦点三角形等题型大全(教师版)

业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随1椭圆的有关题型大全(教师版)一、直线与椭圆位置关系：1..点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)在椭圆12222byax内部的充要条件是1220220byax；在椭圆外部的充要条件是1220220byax；在椭圆上的充要条件是1220220byax.2.直线与椭圆的位置关系.设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：12222byax，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l与C相离的Δ0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ0.3.计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=221221)()(yyxx212212111yykxxk（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。)4.椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，【则kAB＝－b2x0a2y0】业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随2则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.例题讲解：一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03ykx与椭圆141622yx的位置关系解：由1416322yxkxy可得02024)14(22kxxk)516(162k（1）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆141622yx相交（2）当45450)516(162kkk或即时，直线03ykx与椭圆141622yx相切（3）当45450)516(162kk即时，直线03ykx与椭圆141622yx相离例题2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围解法一：由15122myxkxy可得05510)5(22mkxxmk，0152km即1152km51mm且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5m时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长mb，要使直线与椭圆恒有交点则1m即51m当5m时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长5a可保证直线与椭圆恒有交点即5m综述：51mm且解法三：直线恒过一定点)1,0(业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随3要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022m即1m51mm且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点),(ooyxM在椭圆内部或在椭圆上则12222byaxoo二、弦长问题例3、已知椭圆11222yx的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积解法一：由题可知：直线ABl方程为022yx由1122222yxxy可得04492yy，91044)(2122121yyyyyy9104212121yyFFS解法二：2F到直线AB的距离554h由1122222yxxy可得061692xx，又92101212xxkAB910421hABS[评述]在利用弦长公式212212111yykxxkAB（k为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121xxeaexaexaPFPFAB时，应结合韦达定理解决问题。例题4、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随4解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121xxkAB]4))[(1(212212xxxxk．因为6a，3b，所以33c．因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为193622yx，左焦点)0,33(F，从而直线方程为93xy．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132xx．设1x，2x为方程两根，所以1337221xx，1383621xx，3k，从而1348]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622yx，设mAF1，nBF1，则mAF122，nBF122．在21FAF中，3cos22112212122FFAFFFAFAF，即21362336)12(22mmm；所以346m．同理在21FBF中，用余弦定理得346n，所以1348nmAB．例题5、已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程．分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21xx，21xx(或21yy，21yy)的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．解：方法一：设所求直线方程为)4(2xky．代入椭圆方程，整理得036)24(4)24(8)14(222kxkkxk①设直线与椭圆的交点为),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是①的两根，∴14)24(8221kkkxx∵)2,4(P为AB中点，∴14)24(424221kkkxx，21k．∴所求直线方程为082yx．方法二：设直线与椭圆交点),(11yxA，),(22yxB．∵)2,4(P为AB中点，∴821xx，421yy．又∵A，B在椭圆上，∴3642121yx，3642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx，即0))((4))((21212121yyyyxxxx．∴21)(4)(21212121yyxxxxyy．∴直线方程为082yx．业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随5方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(yxA，另一个交点)4,8(yxB．∵A、B在椭圆上，∴36422yx①。36)4(4)8(22yx②从而A，B在方程①－②的图形082yx上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为082yx．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是)0,33(、)0,33(的椭圆截直线082yx所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？例题6、已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程mxy代入椭圆方程1422yx得1422mxx，即012522mmxx．020161542222mmm，解得2525m．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x，2x，由（1）得5221mxx，51221mxx．根据弦长公式得：51025145211222mm．解得0m．方程为xy．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例7：(2011·高考陕西卷)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0，4)代入C的方程得16b2＝1，∴b＝4.又由e＝ca＝35得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5.∴C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋（x－3）225＝1，即x2－3x－8＝0，∴x1＋x2＝3.又4532－3＝－65，∴中点坐标为32，－65.业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随6二、椭圆焦点三角形的周长、面积公式的应用：定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，焦点分别为1F、2F，点P是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF.证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF..2tan221bSPFF同理可证，在椭圆12222bxay（a＞b＞0）中，公式仍然成立.例题讲解：例1若P是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积.解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.||,||2211rPFrPF点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos222