第六章-离散时间系统结构

第六章离散时间系统结构StructuresforDiscrete-TimeSystems6.0引言有理系统函数的LTI线性常系数差分方程系统函数单位脉冲响应（z变换）差分方程、单位脉冲响应、系统函数LTI（等效表征）系统离散时间模拟，数字硬件实现：差分方程（系统函数）转换算法或结构（根据具体的技术）结构：加法、乘以常数和延迟基本运算的互联组成如系统：单位脉冲响应：输入输出的差分方程：为无限长序列-101-1+()=,1-bbzHzzaaz-101[][][-1]nnhnbaunbaun01[]-[-1][][-1]ynaynbxnbxn可重写为：表示：y[n]前一个输出y[n-1]，当前输入x[n]，前一个输入x[n-1]递推计算若x[n]=0，n＜0，则y[n]=0，n＜0-------线性时不变系统递推算法N阶差分方程但这种递推的算法不是系统实现的唯一运算算法（一种最不可取的算法）事实上x[n]与y[n]之间的运算结构--------无穷种理论上：系统实现的各种运算结构的结果相同实际上（数值精度，运算速度，内存容量、误差等）：性能差别很大研究不同实现结构的意义01[][-1]+[][-1]ynaynbxnbxn6.1线性常系数差分方程的方框图表示（blockdiagram）实现LTI系统（算法结构）的基本单元：加法器、乘法器、延迟存储器（延迟器）基本符号（方框图）：加法器乘法器（单位）延迟器z-M通常用M个单位延迟来实现各个基本单元的具体实现：软件，硬件例6.1一个差分方程的方框图表示二阶差分方程：系统函数：根据差分方程可以画出系统的方框图：表现出：算法的复杂性算法的步骤硬件数量（存储器等）120[][-1]+[-2]+[]ynaynaynbxn0-1-212()=1-bHzazaz推广到一般形式的差分方程（高阶）：前面的表示形式(a0=1)：系统函数：将差分方程改写为：10[][-]=[-]NMkkkkynaynkbxnk00[-]=[-]NMkkkkaynkbxnk10[][-]+[-]NMkkkkynaynkbxnk01()1MkkkNkkkbzHzaz可以用两个差分方程来表示：一种方框图结构可以以不同的方式表示而不改变总的系统函数。不同的方框图实现同一系统的不同运算算法上述的方框图------两个系统的级联第一个系统：由x[n]v[n]第二个系统：由v[n]y[n]两个级联的系统顺序交换------不改变总的系统1[][-]+[]Nkkynaynkvn0[][-]Mkkvnbxnk用系统函数表示：可等效为一对方程：-21011()()()1MkkNkkkkHzHzHzbzaz-10()()()()MkkkVzHzXzbzXz211()()()()1NkkkYzHzVzVzaz21()()()()()()YzHzXzHzHzXz两个级联系统交换顺序：等效为：-12011()()()1MkkNkkkkHzHzHzbzaz-10()()()()MkkkYzHzWzbzWz211()()()()1NkkkWzHzXzXzaz相应的时域差分方程表示：两者结构（级联互换）的差别：（1）H1(z)表示H(z)的零点；H2(z)表示H(z)的极点，实现零极点的顺序不同------对实际有限精度运算产生的误差等不同（2）延迟单元数量的不同，第二种结构可以将延迟器进行合并可以减少将近一半的延迟器数量（具有最少延迟器数量）称为规范型实现或直接П型（canonicformordirectformП）第一种类型称为：直接I型（directformI）直接I型可以用差分方程直接画出1[][-]+[]Nkkwnawnkxn0[][-]Mkkynbwnk假定M=N不相等情况：某些系数为零直接П型例6.2一个LTI系统的直接I型和直接II型实现系统函数：比较：得b0=1,b1=2,a1=1.5和a2=-0.9参照标准的直接I型和II型方框图画出其直接I型和II型方框图：直接I型直接II型记住：方框图中反馈系数ak的符号（差分方程）与系统函数表示式中相反。01()1MkkkNkkkbzHzaz6.2线性常系数差分方程的信号流图表示（flowgraph）信号流图与方框图基本相同（除几个符号外）信号流图组成：节点（变量），支路（两个节点之间的通路，方向箭头）具有一个输入，一个输出输出表示对输入的一个线性变换如图：源节点（sourcenodes）：没有流进支路的节点，表示外部输入汇节点（sinknodes）:仅有流进支路的节点，表示输出例：可以写出其线性方程：差分方程信号流图节点（变量）------序列支路增益------乘法器（包括单位增益），延迟器（增益为z-1）也称延迟支路系统函数的方框图和响应的信号流图最终的信号流图：所代表的方程：节点既代表分支点又代表加法器信号流图简单，流图理论直接应用信号流图差分方程组；每个方程每个节点（列出）上式也可简化为三个节点（其中一个源节点，一个汇节点）表示的方程：例6.3从一个流图确定系统函数信号流图：非直接型，不能直接写出系统函数写出方程组：对方程组作z变换：最终可得：系统函数和单位脉冲响应分别为：直接I型的流图：表示：z变换求解的方便性；不同流图对应不同计算资源和算法6.3IIR系统的基本结构有理系统函数各种各样等效差分方程或网络结构不同网络结构的选择：计算的复杂性，占用资源，速度，误差等6.3.1直接型IIR系统的输入输出差分方程：有理系统函数：01()1MkkkNkkkbzHzaz10[][-]=[-]NMkkkkynaynkbxnk直接I型的信号流图表示（由相应方框图得到）假定M=N每个节点的输入不多于两个直接II型的信号流图表示（由相应方框图得到）例6.4IIR系统的直接I型和直接II型结构系统函数：直接参照标准形式，得到：直接I型结构直接II型结构直接型结构的特点：优点--------结构简单，II型结构用的延迟器最少，因而所需的延迟寄存器或内存容量最少。缺点--------任何一个系数ak变化全部极点位置改变频率响应改变bk变化全部零点位置改变频率响应改变（1）通过改变ak或bk来调整系统性能很困难（2）ak或bk的量化误差使系统的特性产生很大的改变直接型结构一般用于实现低价系统--------二阶系统6.3.2级联型(cascadeform)将系统函数改写为：式中，零点个数：M=M1+2M2极点个数：N=N1+2N2一阶因子：实零极点二阶因子：复共轭零极点特点：零极点形式，各子系统级联自由度大。实际的要求：具有最小存储和计算的子系统级联一种实用的标准结构：一对实因子和一对复共轭因子二阶因子12121111111111111()111kkMMkkkkNNkkkkfzgzgzHzAczdzdz由这样的二阶因子表示的系统函数形式为：假定MN,并NS=[(N+1)/2]是不大于(N+1)/2的最大整数对于系统具有奇数的零极点，式中某个a2k或b2k为零。每个二阶节采用直接II型实现。其一般差分方程的形式：1201212112()1sNkkkkkkbbzbzHzazaz012012[][][][-1]+[-2]+[],=1,2,...,[][]+[-1]+[-2],=1,2,...,[][].skkkkkkskkkkkkksNynxnwnawnawnynkNynbwnbwnbwnkNynyn例：一个六阶系统的级联结构结构的种类：零极点的不同配对（NS!种）二阶节的不同顺序（NS!种）共：(NS!)2种级联系统的另一种定义：（四乘法器二阶结构）级联型结构的特点：（1）每个基本节对应于一对零点和一对极点。b0k,b1k,b2k,a1k,a2k------决定（影响）第k对零极点不影响其它的零极点，便于系统性能的调整（2）每个基本节配对的种类多，系统实现时灵活性大（3）每个基本节结构相同，又是先后顺序实现运算，可用一个基本节进行分时复用，只需很少资源（4）速度不能达到最快，误差有积累12120121121()1sNkkkkkbzbzHzbazaz6.3.3并联型（parallelform）将系统函数写成另一种形式：极点型（零点非显式）系统的极点数N=N1+N2，如果M≥N,Np=M-N，否则无第一项将实极点对组合起来，系统函数可表示为：01()1MkkkNkkkbzHzaz121111011(1)()1(1)(1)pNNNkkkkkkkkkkkABezHzCzczdzdz101120112()1psNNkkkkkkkkeezHzCzazaz一个典型例子M=N=6其一般差分方程的形式：例6.6IIR系统的并联型结构系统函数：二阶节并联型1201=0=1[][-1]+[-2]+[],=1,2,...,[][]+[-1],=1,2,...,[][-]+[].pskkkkkskkkkksNNkkkkwnawnawnxnkNynewnewnkNynCxnkyn二阶节并联型也可用一阶节并联型并联型结构的特点：（1）每个基本节对应于一对极点。a1k,a2k------决定（影响）第k对极点（2）能够单独调整系统极点的位置，但不能单独调整零点位置（3）各基本节并联连接，运算速度快（4）各基本节运算误差互不影响，误差没有积累6.3.4IIR系统中的反馈反馈（回路）----闭合路径：回路内某一节点变量直接或间接地决定于自身。如图:差分方程：无限长脉冲响应-------回路必需（不是充分）无反馈回路：输入到输出只经过每个延迟单元一次。最长延迟------通过全部延迟单元的路径≥h[n]长度系统函数仅有零点（原点极点外），零点个数≤延迟单元数FIR系统图：输入单位样本序列，乘以常数a持续不断循环单位脉冲响应：h[n]=anu[n].-------反馈产生无限长h[n]若系统有极点必有反馈回路无限长h[n]IIR系统有反馈回路-----h[n]有限长（非充分性）------零极点互相抵消如图：系统函数：脉冲响应：系统：频率采样系统（frequency-samplingsystems）FIR系统中的一种网络结构中的不可计算情况：差分方程：不可计算不等于方程不能解流图可计算性的关键：全部回路必须至少包含一个单位延迟单元用流图表示LTI系统的实现时：不要造成无延迟的回路6.4转置形式信号流图理论:变换成不同的形式保持输入输出总系统不变流图转置（倒置）------信号流图变换的一种方法转置的具体步骤：所有支路方向颠倒保持支路增益不变输入与输出颠倒（源节点汇节点）例6.7没有零点的一阶系统的转置型系统函数及流图为：转置：输入输出左右调整：延迟与相乘次序改变-11[].1-Hzaz例6.8基本二阶节的转置型基本二阶节的直接II型结构：差分方程：转置型：差分方程：利用z变换求出两种结构的相同的差分方程：12012[][-1]+[-2]+[],[][]+[-1]+[-2].wnawnawnxnynbwnbwnbwn00101111222[][]+[-1],[][],[][]+[]+[-1],[][]+[].vnbxnvnynvnvnaynbxnvnvnaynbxn12012[][-1]+[-2]+[]+[-1]+[-2].ynaynaynbxnbxnbxn6.5FIR系统的基本网络结构6.5.1直接型有理系统